Estoy confundido. No entiendo la diferencia entre un proceso ARMA y un proceso GARCH ... para mí existen los mismos no?

Aquí está el proceso (G) ARCH (p, q)

$$\sigma_t^2 = \underbrace{ \underbrace{ \alpha_0 + \sum_{i=1}^q \alpha_ir_{t-i}^2} _{ARCH} + \sum_{i=1}^p\beta_i\sigma_{t-i}^2} _{GARCH}$$

Y aquí está el ARMA ( $p, q$ ):

$$X_t = c + \varepsilon_t + \sum_{i=1}^p \varphi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,$$

¿El ARMA es simplemente una extensión de GARCH, GARCH se usa solo para retornos y con la suposición $r = \sigma\varepsilon$ donde $\varepsilon$ sigue un proceso blanco fuerte?

Está combinando las características de un proceso con su representación. Considere el proceso (retorno) .$(Y_t)_{t=0}^\infty$

• Un modelo ARMA (p, q) especifica la media condicional del proceso como

Aquí,Ites la información establecida en el tiempot, que es elálgebraσgenerado por los valores rezagados del proceso de resultado(Yt).

$$\begin{align} \mathbb{E}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j}+ \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k}\\ \end{align}$$ $\mathcal{I}_t$$t$$\sigma$$(Y_t)$

• El modelo GARCH (r, s) especifica la varianza condicional del proceso $$\begin{alignat}{2} & \mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t) &{}={}& \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) \\ \equiv \,& \sigma^2_t&{}={}& \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_j \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_k \epsilon^2_{t-m} \end{alignat}$$

$\mathbb{V}(Y_t \mid \mathcal{I}_t)= \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t)$

$$\epsilon_t \equiv \sigma_t Z_t$$ $Z_t$

• $$\begin{align} Y_t &= \alpha_0 + \sum_{j=1}^p \alpha_j Y_{t-j} + \sum_{k=1}^q \beta_k\epsilon_{t-k} +\epsilon_t\\ \mathbb{E}(\epsilon_t\mid \mathcal{I}_t) &=0,\, \forall t \\ \mathbb{V}(\epsilon_t \mid \mathcal{I}_t) &= \delta_0 + \sum_{l=1}^r \delta_l \sigma^2_{t-l} + \sum_{m=1}^s \gamma_m \epsilon^2_{t-m}\, \forall t \end{align}$$

Editar: me di cuenta de que faltaba la respuesta y, por lo tanto, proporcioné una respuesta más precisa (ver más abajo, o tal vez más arriba). He editado este por errores de hecho y lo dejo para el registro.

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Diferentes parámetros de enfoque:

• ARMA es un modelo para la realización de un proceso estocástico que impone una estructura específica de la media condicional del proceso.
• GARCH es un modelo para la realización de un proceso estocástico que impone una estructura específica de la varianza condicional del proceso.

Modelo estocástico versus determinista:

• ARMA es un modelo estocástico en el sentido de que la variable dependiente, las realizaciones del proceso estocástico, se especifica como la suma de una función determinista de variable dependiente rezagada y error de modelo rezagado (la media condicional) y un término de error estocástico.
• GARCH es un modelo determinista en el sentido de que la variable dependiente, la varianza condicional del proceso, es una función puramente determinista de las variables rezagadas.

ARMA

$y_t$$p,q$$I_{t-1}$$y_t$$\mu_t$$y_t$$I_{t-1}$$u_t$

$$\begin{aligned} y_t &= \mu_t + u_t; \\ \mu_t &= \varphi_1 y_{t-1} + \dotsc + \varphi_p y_{t-p} + \theta_1 u_{t-1} + \dotsc + \theta_q u_{t-q} \ \ \text{(known, predetermined)}; \\ u_t | I_{t-1} &~\sim D(0,\sigma^2) \ \ \text{(random)} \\ \end{aligned}$$

$D$

$\mu_t$$p,q$

$$\mu_t = \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m},$$ $m:=\max(p,q)$$\varphi_i=0$$i>p$$\theta_j=0$$j>q$$p,m$$p,q$$y_t$

También podemos escribir la distribución condicional de en términos de sus medios condicionales pasados ​​(en lugar de los valores realizados anteriores) y los parámetros del modelo como$y_t$

$$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \sigma^2, \end{aligned}$$

La última representación facilita la comparación de ARMA a GARCH y ARMA-GARCH.

GARCH

Considere que sigue un proceso GARCH ( ). Supongamos, por simplicidad, que tiene una media constante. Luego$y_t$$s,r$

$$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \mu; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$$

donde y es cierta densidad.$u_t:=y_t-\mu_t$$D$

La varianza condicional sigue un proceso similar a ARMA ( ) pero sin el término de error contemporáneo aleatorio.$\sigma_t^2$$s,r$

GARMA DE ARMA

Considere que tiene media cero incondicional y sigue un proceso ARMA ( ) -GARCH ( ). Luego$y_t$$p,q$$s,r$

$$\begin{aligned} y_t &\sim D(\mu_t,\sigma_t^2); \\ \mu_t &= \varphi_1 \mu_{t-1} + \dotsc + \varphi_p \mu_{t-p} + (\varphi_1 + \theta_1) u_{t-1} + \dotsc + (\varphi_m + \theta_m) u_{t-m}; \\ \sigma_t^2 &= \omega + \alpha_1 u_{t-1}^2 + \dotsc + \alpha_s u_{t-s}^2 + \beta_1 \sigma_{t-1}^2 + \dotsc + \beta_r \sigma_{t-r}^2; \\ \frac{u_t}{\sigma_t} &\sim i.i.D(0,1), \\ \end{aligned}$$

donde ; es cierta densidad, por ejemplo, Normal; para ; y para . D φ i = 0 i > p θ j = 0 j > $u_t:=y_t-\mu_t$$D$$\varphi_i=0$$i>p$$\theta_j=0$$j>q$

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El proceso de media condicional debido a ARMA tiene esencialmente la misma forma que el proceso de varianza condicional debido a GARCH, solo los órdenes de retraso pueden diferir (permitiendo una media incondicional no nula de no debería cambiar este resultado significativamente). Es importante destacar que ninguno de los términos de error aleatorio una vez condicionado a , por lo tanto , ambos están predeterminados.I t - $y_t$$I_{t-1}$

Los procesos ARMA y GARCH son muy similares en su presentación. La línea divisoria entre los dos es muy delgada ya que obtenemos GARCH cuando se supone un proceso ARMA para la varianza del error.