Relación entre independencia y correlación de variables aleatorias uniformes

Mi pregunta es bastante simple: dejar $X$e serán dos variables aleatorias uniformes no correlacionadas en . ¿Son independientes?$Y$$[-1,1]$

Tenía la impresión de que dos variables aleatorias no correlacionadas solo son necesariamente independientes si su distribución conjunta es normal. Sin embargo, no puedo encontrar un contraejemplo para refutar el reclamo sobre el que estoy preguntando. Proporcione un contraejemplo o una prueba.

Independiente implica no correlacionado, pero la implicación no va a la inversa.

No correlacionado implica independencia solo bajo ciertas condiciones. por ejemplo, si tiene una normalidad bivariada , es el caso que no correlacionado implica independiente (como usted dijo).

Es fácil construir distribuciones bivariadas con márgenes uniformes donde las variables no están correlacionadas pero no son independientes. Aquí están algunos ejemplos:

1. considerar una variable aleatoria adicional $B$ que toma los valores $\pm 1$ cada uno con probabilidad $\frac12$, independiente de $X$. Entonces deja$Y=BX$.

2. tome la distribución bivariada de dos uniformes independientes y córtela en 4 secciones de igual tamaño en cada margen (produciendo $4\times 4=16$ piezas, cada una de tamaño $\frac12\times\frac12$) Ahora tome toda la probabilidad de las 4 piezas de esquina y las 4 piezas centrales y colóquelo uniformemente en las otras 8 piezas.

3. Dejar $Y = 2|X|-1$.

En cada caso, las variables no están correlacionadas pero no son independientes (por ejemplo, si $X=1$, que es $P(-0.1<Y<0.1)\,$?)

Si especifica una familia particular de distribuciones bivariadas con márgenes uniformes, es posible que, según esa formulación, la única no correlacionada sea independiente. Entonces no estar correlacionado implicaría independencia.

Por ejemplo, si restringe su atención para decir la cópula gaussiana, entonces creo que la única no correlacionada tiene márgenes independientes; puede reescalarlo fácilmente para que cada margen esté activado (-1,1).

Algún código R para tomar muestras y trazar estos bivariados (no necesariamente de manera eficiente):

n <- 100000
x <- runif(n,-1,1)
b <- rbinom(n,1,.5)*2-1
y1 <-b*x
y2 <-ifelse(0.5<abs(x)&abs(x)<1,
       runif(n,-.5,.5),
       runif(n,0.5,1)*b
      )
y3 <- 2*abs(x)-1

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,y1,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
plot(x,y2,pch=16,cex=.5,col=rgb(.5,.5,.5,.5))
abline(h=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
abline(v=c(-1,-.5,0,.5,1),col=4,lty=3)
plot(x,y3,pch=16,cex=.3,col=rgb(.5,.5,.5,.5))

(En esta formulación, $(Y_2, Y_3)$ da un cuarto ejemplo)

[Incidentalmente transformando todo esto a la normalidad (es decir, transformando $X$ a $\Phi^{-1}(\frac12(X+1))$y así sucesivamente), obtendrá ejemplos de variables aleatorias normales no correlacionadas que no son independientes. Naturalmente, no son conjuntamente normales.]