Covarianza de una variable y una combinación lineal de otras variables.

Sean variables de series de tiempo y se conoce la covarianza entre dos pares de estos. $X,A,B,C,D$

Supongamos que queremos encontrar , donde son constantes. $\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$ $a,b,c,d$

¿Hay alguna forma de hacerlo sin expandir $E[(X-E[X])(aA+......)]$ ?

correlation variance covariance
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Respuestas:

¿Hay alguna forma de hacerlo sin expandir $E[(X-E[X])(aA+......)]$ ?

Si. Existe una propiedad de covarianza llamada bilinealidad, que es que la covarianza de una combinación lineal

c o v (a X + b Y, c W + d Z)

${\rm cov}(aX + bY, cW + dZ)$

(donde $a,b,c,d$ son constantes y $X,Y,W,Z$ son variables aleatorias) se pueden descomponer como

a c \cdot c o v (X, W) + a d \cdot c o v (X, Z) + b c \cdot c o v (Y, W) + b d \cdot c o v (Y, Z)

$ac\cdot {\rm cov}(X,W) + ad\cdot {\rm cov}(X,Z) + bc\cdot {\rm cov}(Y,W) + bd\cdot {\rm cov}(Y,Z)$

En el ejemplo que ha dado, puede usar esta propiedad para escribir $\textrm{cov}(X,aA + bB + cC + dD)$ como

a c o v (X, A) + b c o v (X, B) + c c o v (X, C) + d c o v (X, D)

$a\ {\rm cov}(X, A) +b\ {\rm cov}(X, B) +c\ {\rm cov}(X, C) +d\ {\rm cov}(X, D)$

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Si tengo , ¿puedo expresarlo de la misma manera?

c o v (X, a A + b X)

$cov(X,aA + bX)$

@ Harokitty, sí. Teniendo en cuenta que , puede aplicar esta propiedad para encontrar que .

c o v (X, X) = v a r (X)

${\rm cov}(X,X) = {\rm var}(X)$

c o v (X, a A + b X) = a c o v (X, A) + b v a r (X)

${\rm cov}(X,aA+bX) = a \ {\rm cov}(X,A) + b \ {\rm var}(X)$

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