¿Qué significa decir que tienen una distribución Normal "común"?

Una pregunta de ejercicio hace

Supongamos que son rvs que tienen una distribución Normal común con . Calcule el coeficiente de dependencia de la cola superior para todos .$X_1, X_2$$N(0,1)$$\operatorname{Corr}(X_1, X_2) = \rho$$\rho \in [-1, 1]$

¿Qué significa que dice que tienen una distribución Normal "común"?

Lo primero que pensé fue que significaban que y son variables distribuidas normales univariadas . Sin embargo, si eso es cierto, entonces la pregunta no tiene sentido. La dependencia de la cola no se puede calcular.$X_1$$X_2$$N(0,1)$

Entonces, ¿me dejan creer que por distribución normal "común" se refieren a la distribución normal bivariada?

Significa que dos cosas son ciertas.

Primero:

$$P(X_1 < t) = P(X_2 < t)$$

para todos los números reales $t$ (es decir, $X_1$ y $X_2$tienen la misma distribución, a menudo la taquigrafía equidistribuida se usa para describir esta condición).

Segundo:

$$P(X_1 < t) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^t e^{\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}} \,\text{d}x$$

para algunos números fijos $\mu$ y $\sigma$ (es decir, la distribución de $X_1$ (*) es una distribución normal).

Esto no implica que $(X_1, X_2)$Es una articulación normal sin más suposiciones. Si eso fue lo que se pretendía, no es lo que el autor realmente escribió.

(*) Dada la primera condición, esto implica que la distribución de $X_2$ También es una distribución normal.

Creo que "común" aquí solo significa que la distribución marginal $\text{N}(0,1)$es común a ambas variables aleatorias (es decir, tienen la misma distribución marginal). Aunque técnicamente esto es insuficiente para dar una distribución normal bivariada, creo que el escritor probablemente pretendía esa forma:

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} \sim \text{N} \Big( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \end{bmatrix} \Big).$$

Esa especificación produciría distribuciones marginales comunes $X \sim \text{N}(0,1)$ y $Y \sim \text{N}(0,1)$. Si yo fuera usted, sugeriría señalar este tecnicismo, y luego proceder sobre la base de que las variables aleatorias son bivariadas normales. Es posible que desee volver a notar el problema como una advertencia una vez que dé su respuesta.

El ejercicio está mal redactado. Sospecho que lo que se quiere decir es que las dos variables aleatorias son conjuntamente normales y tienen una distribución común. Si son normales por separado pero no son normales, entonces no tiene suficiente información para responder la pregunta. Si mi sospecha es correcta, entonces el ejercicio debería haber dicho que son conjuntamente normales.

Tener una distribución "común" simplemente significa que ambos tienen la misma distribución. Así:

$$\begin{align} \require{cancel} & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \xcancel{\operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma_1^2 & \rho \sigma_1\sigma_2 \\ \rho\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2 \end{array} \right] \right)} & & \longleftarrow \text{ not common} \\[10pt] & \left[ \begin{array}{l} X_1 \\ X_2 \end{array} \right] \sim \operatorname N\left( \left[ \begin{array}{l} \mu \\ \mu \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} \sigma^2 & \rho \sigma^2 \\ \rho\sigma^2 & \sigma^2 \end{array} \right] \right) & & \longleftarrow\text{ common} \end{align}$$ En el segundo caso tenemos $X_i\sim\operatorname N(\mu,\sigma^2)$ para $i=1,2,$ así, cada uno se distribuye normalmente y tienen esa distribución normal en común.