¿Son intercambiables los productos de vehículos recreativos intercambiables?

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Suponga que e son dos variables aleatorias que tienen RV binarias como sus componentes (Por lo tanto, ) y ambas ( y ) son intercambiables, es decir,

X = (X_{1}, . . ., X_{n}), : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$X=(X_1, ..., X_n),: (\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

Y = (Y_{1}, . . ., Y_{n}) : (Ω, A, P) \to ({0, 1}^{n}, 2^{{0, 1}^{n}})

$Y=(Y_1, ..., Y_n):(\Omega, A,P)\to (\{0,1\}^n, 2^{{\{0,1\}}^n})$

X_{i} (ω) \in {0, 1}, Y_{i} (ω) \in {0, 1}

$X_i(\omega)\in\{0,1\}, Y_i(\omega) \in \{0,1\}$

X

$X$

Y

$Y$

P ((X_{1}, . . ., X_{n}) = (x_{1}, . . ., x_{n})) = P ((X_{σ (1)}, . . ., X_{σ (n)}) = (x_{1}, . . ., x_{n}))

$P((X_1, ..., X_n)=(x_1, ..., x_n))= P((X_{\sigma(1)}, ..., X_{\sigma(n)})=(x_1, ..., x_n))$

y

P ((Y_{1}, . . ., Y_{n}) = (y_{1}, . . ., y_{n})) = P ((Y_{σ (1)}, . . ., Y_{σ (n)}) = (y_{1}, . . ., y_{n}))

$P((Y_1, ..., Y_n)=(y_1, ..., y_n))= P((Y_{\sigma(1)}, ..., Y_{\sigma(n)})=(y_1, ..., y_n))$ para todas las permutaciones .

σ

$\sigma$

Mi pregunta es si sostiene que es intercambiable. $Z=(X_1Y_1, ..., X_nY_n)$

O enmarcado de manera diferente, ¿qué supuestos son necesarios para que sea intercambiable? $Z$

bayesian exchangeability Sebastian
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Parece que hay al menos un error tipográfico en su pregunta: ¿realmente quiere decir que el último componente de es " ?" La notación es opaca: ¿está afirmando que es una variable aleatoria con componentes binarios e es una variable aleatoria cuyos componentes son funciones binarias de -vectores binarios ? Cuando declaras un problema de manera abstracta, (1) es crucial que hagas todo exactamente bien y (2) deberías considerar publicarlo en el sitio de matemáticas.

Z

$Z$

Y_{n} Y_{n}

$Y_nY_n$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

whuber

Gracias por señalar esto. Aclararé la notación

Sebastian

6

El producto no tiene que ser intercambiable. El siguiente contraejemplo mostrará qué puede salir mal y por qué.

Especificaremos las distribuciones conjuntas de y de y asumiremos que cada una de estas variables aleatorias bivariadas es independiente. Por lo tanto, será intercambiable siempre que estén distribuidos de manera idéntica, y de igual manera para Todas las variables serán variables de Bernoulli: por definición, sus probabilidades se concentrarán en el conjunto $P_1$ $(X_1,Y_1)$ $P_2$ $(X_2,Y_2)$ $X_i$ $Y_i.$ $\{0,1\}.$

Deje y para $P_1(0,0) = P_1(1,1) = 1/2$ $P_2(x,y)=1/4$ $x,y\in\{0,1\}.$

Como todas las distribuciones marginales son Bernoulli $(1/2),$ se cumple el supuesto marginal de intercambiabilidad. Pero ahora calcule eso $\Pr(X_1Y_1=0) = 1/2$ y muestra que los productos tienen diferentes distribuciones (y, por lo tanto, no pueden ser intercambiables). $\Pr(X_2Y_2=0)=3/4,$

Esto muestra que la distribución conjunta es importante.

Sin embargo, las distribuciones conjuntas podrían diferir, pero los productos podrían ser intercambiables, por lo que la intercambiabilidad de las variables aleatorias bivariadas , aunque sea una condición suficiente para la intercambiabilidad de los productos no es una condición necesaria. $(X_i,Y_i)$ $X_iY_i,$

Un ejemplo de esto lo dan las variables ternarias con valores en Por ejemplo, considere las siguientes probabilidades: $\{-1,0,1\}.$

P_{1} ((- 1, y)) = 1 / 6 (y \in {- 1, 0, 1}); P_{1} ((1, - 1)) = P_{1} ((1, 1)) = 1 / 4

$P_1((-1,y)) = 1/6\quad(y\in\{-1,0,1\});\quad P_1((1,-1)) = P_1((1,1))=1/4$

y

P_{2} ((x, y)) = P_{1} ((- x, y)) .

$P_2((x,y)) = P_1((-x,y)).$

Es sencillo comprobar que las distribuciones marginales de asignan probabilidades iguales de a las distribuciones marginales de tienen vectores de probabilidad y que el La distribución de es la misma que la de Sin cuenta que tienen diferentes distribuciones, porque $X_i$ $1/2$ $\pm 1,$ $Y_i$ $(5/12, 1/6, 5/12),$ $X_iY_i$ $Y_i.$ $(X_i,Y_i)$

P_{1} ((- 1, 0)) = 1 / 6 \neq 0 = P_{2} ((- 1, 0)) .

$P_1((-1,0)) = 1/6 \ne 0 = P_2((-1,0)).$

Por lo tanto, son intercambiables, son intercambiables, son intercambiables, pero no son intercambiables. $X_i$ $Y_i$ $X_iY_i$ $(X_i,Y_i)$

whuber
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2

No. Suponga que el espacio muestral consta de tres outomes igualmente probables para los cuales toma valores de y para los cuales toma valores de Entonces son intercambiables y también lo son . Pero los valores correspondientes de son así que claramente no son cambiable. $X$

(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)

$(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$

Y

$Y$

(1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) .

$(1,0,0), (0,0,1), (0,1,0).$

X_{1}, X_{2}, X_{3}

$X_1,X_2,X_3$

Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}

$Y_1,Y_2,Y_3$

Z = (X_{1} Y_{1}, \dots, X_{3} Y_{3})

$Z=(X_1 Y_1,\dots, X_3 Y_3)$

(1, 0, 0), (0, 0, 0), (0, 0, 0)

$(1,0,0),(0,0,0),(0,0,0)$

Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}

$Z_1,Z_2,Z_3$

Jarle Tufto
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