Veo que el concepto de 'intercambiabilidad' se usa en diferentes contextos (por ejemplo, modelos bayesianos) pero nunca he entendido muy bien el término.
¿Qué significa este concepto?
¿En qué circunstancias se invoca este concepto y por qué?
La capacidad de intercambio tiene como objetivo capturar la simetría en un problema, la simetría en un sentido que no requiere independencia. Formalmente, una secuencia es intercambiable si su distribución de probabilidad conjunta es una función simétrica de sus argumentos. Intuitivamente significa que podemos intercambiar o reordenar variables en la secuencia sin cambiar su distribución conjunta. Por ejemplo, cada secuencia IID (independiente, idénticamente distribuida) es intercambiable, pero no al revés. Sin embargo, cada secuencia intercambiable se distribuye de manera idéntica.
Imagine una mesa con un montón de urnas en la parte superior, cada una con diferentes proporciones de bolas rojas y verdes. Elegimos una urna al azar (de acuerdo con alguna distribución previa), y luego tomamos una muestra (sin reemplazo) de la urna seleccionada.
Tenga en cuenta que los rojos y verdes que observamos NO son independientes. Y tal vez no sea una sorpresa saber que la secuencia de rojos y verdes que observamos es una secuencia intercambiable. Lo que puede sorprender es que CADA secuencia intercambiable se puede imaginar de esta manera, para una elección adecuada de urnas y distribución previa. (ver Diaconis / Freedman (1980) "Finite Exchangeable Sequences", Ann. Prob.).
El concepto se invoca en todo tipo de lugares, y es especialmente útil en contextos bayesianos porque en esos entornos tenemos una distribución previa (nuestro conocimiento de la distribución de urnas en la mesa) y tenemos una probabilidad de correr (un modelo que representa libremente el procedimiento de muestreo de una urna determinada, fija). Observamos la secuencia de rojos y verdes (los datos) y usamos esa información para actualizar nuestras creencias sobre la urna particular en nuestra mano (es decir, nuestra posterior), o más generalmente, las urnas en la mesa.
Las variables aleatorias intercambiables son especialmente maravillosas porque si tenemos infinitas de ellas, entonces tenemos tomos de maquinaria matemática al alcance de la mano, entre los cuales se encuentra el Teorema de De Finetti; ver Wikipedia para una introducción.