¿Se conservan las probabilidades bajo la transformación de la función?

Creo que esto es un poco básico, pero digamos que tengo una variable aleatoria $X$ , ¿es la probabilidad $P(X \leq a)$ la misma que $P(f(X) \leq f(a))$ para cualquier función continua con valor real $f$ ?

Esto es válido solo si aumenta monotónicamente Si f está disminuyendo monotónicamente, entonces P ( f ( X ) ≤ f ( a ) ) = P ( X ≥ a ) . Por ejemplo, si f ( x ) = - x , y X es una tirada de dado normal, entonces P ( X ≤ 5 ) = $f$$f$$P(f(X)\leq f(a)) = P(X \geq a)$$f(x) = -x$ peroP(-X≤-5)=$P(X \leq 5) = \frac56$ . Sifcambia entre aumentar y disminuir, entonces es aún más complicado.$P(-X \leq -5) = \frac16$$f$

Tenga en cuenta que también existe el caso trivial de , en el que P ( f ( X ) ≤ a ) es igual a 1 si a ≥ 0 y 0 de lo contrario.$f(x) \equiv 0$$P(f(X) \leq a)$$a \geq 0$

No. Tome el uniforme en [ - 1 , 1 ] y a = 0 . Entonces Pr ( X < un ) = 1 / 2 . Por otro lado Pr ( X 2 < a 2 ) = 0 .$X$$[-1,1]$$a=0$$\Pr(X < a ) = 1/2$$\Pr(X^2<a^2) = 0$

Esto está relacionado con preguntar:

$X \leq a$$f(X) \leq f(a)$ ?

$f(X) \leq f(a)$ mientras $X \leq a$. Pero, en todos los casos, requiere$f$ ser una función no monótona.