Suma limitante de iid Gamma variantes

Sea una secuencia de variables aleatorias distribuidas de forma independiente e idéntica con la función de densidad de probabilidad; Muestre que$X_1,X_2,\ldots$

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2}x^2 e^{-x} & \mbox{if $x>0$};\\ 0 & \mbox{otherwise}.\end{array} \right.$$ $$\lim_{n\to \infty} P[X_1+X_2+\ldots+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] \ge \frac{1}{2}$$

Lo que intenté

A primera vista, pensé que debería usar la desigualdad de Chebyshev, ya que la pregunta es mostrar un límite inferior $X_1+X_2+\ldots +X_n$ . Sin embargo, pensé en el signo de límite que indica claramente que el problema puede estar relacionado de alguna manera con el Teorema del límite central (CLT)

Deje $S_n=X_1+X_2+\ldots +X_n$

$$E(S_n)=\sum_{i=0}^{n} E(X_i)=3n \ (\text{since } E(X_i)=3) \\ V(S_n)=\sum_{i=0}^{n} V(X_i)=3n \ (\text{since } V(X_i)=3 \text{ and } X_i \text{ are i.i.d})$$

Ahora, usando CLT, para n grande $n$, $X_1+X_2+........+X_n \sim N(3n,3n)$
O,

$$z=\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \sim N(0,1) \text{ as } n\to \infty$$

Ahora,

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})] = \lim_\limits{n\to \infty}P(S_n-3n \ge -3\sqrt{n}) = \lim_\limits{n\to \infty} P\left(\frac{S_n-3n}{\sqrt{3n}} \ge -\sqrt{3}\right) =P(z\ge -\sqrt{3}) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+P(z\ge 0 ) =P\left(-\sqrt{3}\le z<0\right)+\frac{1}{2}\cdots(1)$$

Desde $P(-\sqrt{3}\le z<0) \ge 0$ , por lo tanto desde $(1)$ ,

$$\lim_\limits{n\to \infty} P[X_1+X_2+........+X_n\ge 3(n-\sqrt{n})]\ge \frac{1}{2}$$

¿Estoy en lo correcto?

Tenías razón en que la desigualdad de Chebyshev funcionará. Proporciona un límite algo crudo pero efectivo que se aplica a muchas de esas secuencias, revelando que la característica crucial de esta secuencia es que la varianza de las sumas parciales crece como máximo linealmente con .$n$

Consideremos, entonces, el caso extremadamente general de cualquier secuencia de variables no correlacionadas con medias y variaciones finitas Deje ser la suma de los primeros de ellos,$X_i$$\mu_i$$\sigma_i^2.$$Y_n$$n$

$$Y_n = \sum_{i=1}^n X_i.$$

En consecuencia, la media de es$Y_n$

$$m_n = \sum_{i=1}^n \mu_n$$

y su varianza es

$$s_n^2 = \operatorname{Var}(Y_n) = \sum_{i=1}^n \operatorname{Var}(X_i) + 2\sum_{j > i}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) = \sum_{i=1}^n \sigma_i^2.$$

Supongamos que crece como máximo linealmente con :$s_n^2$$n$ es decir, existe un número tal que para todos los suficientemente grandes Deje (aún por determinar), observe que$\lambda\gt 0$$n,$ $s_n^2 \le \lambda^2 n.$$k\gt 0$

$$m - k \sqrt{n} \le m - \frac{k}{\lambda}s_n,$$

y aplicar la desigualdad de Chebyshev a para obtener$Y_n$

$$\eqalign{ \Pr(Y_n \ge m_n - k\sqrt{n}) &\ge \Pr(Y_n \ge m_n - \frac{k}{\lambda}s_n) \\ &\ge \Pr(|Y_n - m_n| \le \frac{k}{\lambda} s_n) \\ &\ge 1 - \frac{\lambda^2}{k^2}. }$$

Las dos primeras desigualdades son básicas: siguen porque cada evento sucesivo es un subconjunto del anterior.

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En el caso en cuestión, donde es independiente (y por lo tanto no correlacionado) con los medios y las varianzas tenemos y$X_i$$\mu_i=3$$\sigma_i^2=3,$$m_n=3n$

$$s_n = \sqrt{3}\sqrt{n},$$

de donde podemos tomar tan pequeño como El evento en la pregunta corresponde a donde$\lambda$$\sqrt{3}.$$3(n-\sqrt{n}) = \mu_n - 3\sqrt{n}$$k=3,$

$$\Pr(Y_n \ge 3n - 3\sqrt{n}) \ge 1 - \frac{\sqrt{3}^{\ 2}}{3^2} = \frac{2}{3}\gt \frac{1}{2},$$

QED

Como alternativa a la excelente respuesta de Whuber, intentaré derivar el límite exacto de la probabilidad en cuestión. Una de las propiedades de la distribución gamma es que las sumas de variables aleatorias gamma independientes con el mismo parámetro de velocidad / escala también son variables aleatorias gamma con forma igual a la suma de las formas de esas variables. (Eso se puede probar fácilmente utilizando las funciones generadoras de la distribución). En el presente caso tenemos , por lo que obtenemos la suma:$X_1,...X_n \sim \text{IID Gamma}(3,1)$

$$S_n \equiv X_1 + \cdots + X_n \sim \text{Gamma}(3n, 1).$$

Por lo tanto, podemos escribir la probabilidad exacta de interés utilizando el CDF de la distribución gamma. Si denota el parámetro de forma y denota el argumento de interés, tenemos:$a = 3n$$x = 3(n-\sqrt{n})$

$$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &\equiv \mathbb{P}(S_n \geq 3(n-\sqrt{n})) \\[12pt] &= \frac{\Gamma(a, x)}{\Gamma(a)} \\[6pt] &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Para encontrar el límite de esta probabilidad, primero notamos que podemos escribir el segundo parámetro en términos del primero como donde . Usando un resultado que se muestra en Temme (1975) (Ec. 1.4, p. 1109) tenemos la equivalencia asintótica:$x = a + \sqrt{2a} \cdot y$$y = -\sqrt{3/2}$

$$\begin{aligned} \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} &\sim \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf}(-y) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} (1+y^2) \exp( - y^2). \end{aligned}$$

Usando la aproximación de Stirling y la definición limitante del número exponencial, también se puede demostrar que:

$$\begin{aligned} \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} &\sim \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (a-1)^{a-1/2} + x^a \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot (1-\tfrac{1}{a})^{a-1/2} + \sqrt{x} \cdot (\tfrac{x}{a})^{a-1/2} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1}}{\sqrt{2 \pi} \cdot a \cdot e^{-1} + \sqrt{x} \cdot e^{x-a} \cdot e^{a-x-1}} \\[6pt] &= \frac{\sqrt{2 \pi} \cdot a}{\sqrt{2 \pi} \cdot a + \sqrt{x}} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1}. \\[6pt] \end{aligned}$$

Sustituyendo los valores relevantes, obtenemos:

$$\begin{equation} \begin{aligned} H(n) &= \frac{a \Gamma(a)}{a \Gamma(a) + x^a e^{-x}} \cdot \frac{\Gamma(a+1, x)}{\Gamma(a+1)} \\[6pt] &\sim \frac{\sqrt{2 \pi a}}{\sqrt{2 \pi a} + 1} \cdot \Bigg[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) + \sqrt{\frac{2}{9a \pi}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \exp \Big( \frac{3}{2} \Big) \Bigg]. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Esto nos da el límite:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} H(n) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \text{erf} \Big( \sqrt{\frac{3}{2}} \Big) = 0.9583677.$$

Esto nos da el límite exacto de la probabilidad de interés, que es mayor que la mitad.