Expresión en forma cerrada para los cuantiles de

Tengo dos variables aleatorias, $\alpha_i\sim \text{iid }U(0,1),\;\;i=1,2$ donde$U(0,1)$ es la distribución uniforme 0-1.

Entonces, estos producen un proceso, digamos:

$$P(x)=\alpha_1\sin(x)+\alpha_2\cos(x), \;\;\;x\in (0,2\pi)$$

Ahora, me preguntaba si hay una expresión de forma cerrada para $F^{-1}(P(x);0.75)$ el cuantil teórico del 75 por ciento de $P(x)$ para un determinado $x\in(0,2\pi)$ - supongo que puedo hacerlo con una computadora y muchas realizaciones de $P(x)$ , pero preferiría la forma cerrada--.

Este problema puede reducirse rápidamente a uno de encontrar el cuantil de una distribución trapezoidal .

Reescribamos el proceso como donde U 1 y U 2 son iid U ( - 1 , 1 ) variables aleatorias; y, por simetría, tiene la mismadistribuciónmarginalque el proceso ¯ P ( x ) = U 1 ⋅ |

$$P(x) = U_1 \cdot \frac12 \sin x + U_2 \cdot \frac12 \cos x + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>,$$ $U_1$$U_2$$\mathcal U(-1,1)$ Los primeros dos términos determinan unadensidad trapezoidalsimétricaya que esta es la suma de dos variables aleatorias uniformes de media cero (con, en general, diferentes medios anchos). El último término solo da como resultado una traducción de esta densidad y el cuantil es equivalente con respecto a esta traducción (es decir, el cuantil de la distribución desplazada es el cuantil desplazado de la distribución centrada). $$\overline P(x) = U_1 \cdot \left|\frac12 \sin x\right| + U_2 \cdot \left|\frac12 \cos x\right| + \frac{1}{2} (\sin x + \cos x) \>.$$

Cuantiles de una distribución trapezoidal

Sea donde X 1 y X 2 son distribuciones independientes U ( - a , a ) y U ( - b , b ) . Suponga sin pérdida de generalidad que a ≥ b . Entonces, la densidad de Y se forma convolucionando las densidades de X 1 y X 2 . Esto se ve fácilmente como un trapecio con vértices ( - $Y = X_1 + X_2$$X_1$$X_2$$\mathcal U(-a,a)$$\mathcal U(-b,b)$$a \geq b$$Y$$X_1$$X_2$ , ( - un + b , 1 / 2 una ) , ( un $(-a-b,0)$$(-a+b,1/2a)$ y ( un + b , 0 ) .$(a-b,1/2a)$$(a+b,0)$

El cuantil de la distribución de $Y$ , para cualquier es, por lo tanto, q ( p ) : = q ( $p < 1/2$ Por simetría, parap>1/2, tenemosq(p)=-q(1-p).

$$q(p) := q(p\,; a,b) = \begin{cases} \sqrt{8abp} - (a+b) \,, & p < b/2a \\ (2p - 1) a \,, & b/2a \leq p \leq 1/2 \>. \end{cases}$$ $p > 1/2$$q(p) = - q(1-p)$

De vuelta al caso en cuestión

$|\sin x| \geq |\cos x|$$|\sin x| < |\cos x|$$2a$$2b$$\overline P(x)$

$p < 1/2$$|\sin x| \geq |\cos x|$$a = |\sin x|/2$$b=|\cos x|/2$

$$q_x(p) = q(p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$$ $|\sin x| < |\cos x|$Los roles se invierten. Del mismo modo, para$p \geq 1/2$ $$q_x(p) = -q(1-p \,; a,b) + \frac{1}{2}(\sin x + \cos x) \>,$$

Los cuantiles

A continuación hay dos mapas de calor. El primero muestra los cuantiles de la distribución de$P(x)$ para una cuadrícula de $x$ huyendo de $0$ a $2\pi$. los$y$-coordenada da la probabilidad $p$asociado con cada cuantil. Los colores indican el valor del cuantil con rojo oscuro que indica valores muy grandes (positivos) y azul oscuro que indica valores negativos grandes. Por lo tanto, cada tira vertical es un gráfico cuantil (marginal) asociado$P(x)$.

El segundo mapa de calor a continuación muestra los cuantiles en sí, coloreados por la probabilidad correspondiente. Por ejemplo, el rojo oscuro corresponde a$p = 1/2$ y azul oscuro corresponde a $p=0$ y $p=1$. Cyan es más o menos$p=1/4$ y $p=3/4$. Esto muestra más claramente el soporte de cada distribución y la forma.

Algún Rcódigo de muestra

La qprocsiguiente función calcula la función cuantil de$P(x)$ para una dada $x$. Utiliza el más general qtrappara generar los cuantiles.

# Pointwise quantiles of a random process: 
# P(x) = a_1 sin(x) + a_2 cos(x)

# Trapezoidal distribution quantile
# Assumes X = U + V where U~Uni(-a,a), V~Uni(-b,b) and a >= b
qtrap <- function(p, a, b)
{
    if( a < b) stop("I need a >= b.")
    s <- 2*(p<=1/2) - 1
    p <- ifelse(p<= 1/2, p, 1-p)
    s * ifelse( p < b/2/a, sqrt(8*a*b*p)-a-b, (2*p-1)*a )
}

# Now, here is the process's quantile function.
qproc <- function(p, x)
{
    s <- abs(sin(x))
    c <- abs(cos(x))
    a <- ifelse(s>c, s, c)
    b <- ifelse(s<c, s, c)
    qtrap(p,a/2, b/2) + 0.5*(sin(x)+cos(x))
} 

A continuación se muestra una prueba con la salida correspondiente.

# Test case
set.seed(17)
n <- 1e4
x <- -pi/8
r <- runif(n) * sin(x) + runif(n) * cos(x)

# Sample quantiles, then actual.
> round(quantile(r,(0:10)/10),3)
    0%    10%    20%    30%    40%    50%    60%    70%    80%    90%   100%
-0.380 -0.111 -0.002  0.093  0.186  0.275  0.365  0.453  0.550  0.659  0.917
> round(qproc((0:10)/10, x),3)
 [1] -0.383 -0.117 -0.007  0.086  0.178  0.271  0.363  0.455  0.548
[10]  0.658  0.924