Intervalos de predicción para el resultado de una regresión logística con respuesta binomial

Supongamos que tenemos un modelo de regresión logística:

Dada una muestra aleatoria de tamaño N , podemos calcular intervalos de confianza para el \ boldsymbol {\ beta} e intervalos de predicción correspondientes para p , dado un cierto valor \ mathbf {x} ^ * del vector predictor. Todo esto es muy estándar y detallado, por ejemplo, aquí .$D=\{\mathbf{X},\mathbf{y}\}$$N$$\boldsymbol{\beta}$$p$$\mathbf{x}^*$

Supongamos, en cambio, que estoy interesado en un intervalo de predicción para $y$ , dado $\mathbf{x}^*$ . Por supuesto, no tiene ningún sentido calcular un intervalo de predicción para una sola realización de $y$ , porque $y$ solo puede tomar los valores 0 y 1, y ningún valor intermedio. Sin embargo , si consideramos $m$ realizaciones de $y$ para el mismo valor fijo de $\mathbf{x}^*$ , esto se vuelve similar (pero no idéntico) a la cuestión de calcular un intervalo de predicción para una variable aleatoria binomial . Esta es básicamente la misma situación descrita por Glen_b en los comentarios a esta respuesta.. ¿Esta pregunta tiene una respuesta, aparte de la trivial "usar bootstrap no paramétrico"?

Una forma en que esto debería funcionar sin bootstrapping (que en la práctica puede ser lo más rápido que se implementa) sería:

1. Suponga que funciona una aproximación normal para las probabilidades de registro predichas ( ) más / menos su error estándar. Cualquier software de regresión logística proporcionará esto.$x \hat{\beta}$
2. Los percentiles de esta distribución se transforman en probabilidades a través del anti-logit.
3. Se puede encontrar una (mezcla de) distribución (es) beta (s) que se aproxima a la distribución predictiva del pozo de probabilidad.
4. La distribución predictiva para el resultado es entonces una (mezcla de) distribución beta-binomial (s con los mismos pesos de mezcla utilizados en el paso 3).

Alternativamente, uno puede "simplemente" integrar las probabilidades de registro de la predicción conjunta del resultado y las probabilidades de registro, pero creo que será un completo desastre sin una solución de forma cerrada.