¿Cómo se relaciona la interpolación con el concepto de regresión?

Explique brevemente ¿Qué se entiende por interpolación? ¿Cómo se relaciona con el concepto de regresión?

La interpolación es el arte de leer entre las líneas de una tabla y, en matemática elemental, el término generalmente denota el proceso de calcular los valores intermedios de una función a partir de un conjunto de valores dados o tabulares de esa función.

No puedo dar la respuesta de la segunda pregunta. Por favor ayuda

La principal diferencia entre interpolación y regresión es la definición del problema que resuelven.

Dados $n$ puntos de datos, cuando interpola, busca una función que tenga una forma predefinida que tenga los valores en esos puntos exactamente como se especifica. Eso significa que los pares dados $(x_i, y_i)$ buscan $F$ de alguna forma predefinida que satisfaga $F(x_i) = y_i$ . Creo que más comúnmente se elige $F$ como polinomio, spline (polinomios de bajo grado en intervalos entre puntos dados).

Cuando hace una regresión, busca una función que minimice algunos costos, generalmente la suma de cuadrados de errores. No necesita que la función tenga los valores exactos en los puntos dados, solo desea una buena aproximación. En general, su función encontrada podría no satisfacer para cualquier punto de datos, pero la función de costo, es decir, será la más pequeña posible de todas las funciones de forma dada.$F$$F(x_i) = y_i$$\sum_{i=1}^n (F(x_i) - y_i)^2$

Un buen ejemplo de por qué es posible que solo desee aproximar en lugar de interpolar los precios en el mercado de valores. Puede tomar precios en algunas unidades de tiempo recientes e intentar interpolarlos para obtener una predicción del precio en la siguiente unidad de tiempo. Esta es una mala idea, porque no hay razón para pensar que las relaciones entre los precios puedan expresarse exactamente por un polinomio. Pero la regresión lineal podría ser útil, ya que los precios podrían tener cierta "pendiente" y una función lineal podría ser una buena aproximación, al menos localmente (pista: no es tan fácil, pero la regresión es definitivamente una mejor idea que la interpolación en este caso )$k$

Las dos respuestas anteriores han explicado la relación entre la interpolación lineal y la regresión lineal (o incluso la interpolación general y la regresión polinómica). Pero una conexión importante es que una vez que se ajusta a un modelo de regresión, puede usarlo para interpolar entre los puntos de datos dados.

Esperemos que esto llegue bastante rápido con un simple ejemplo y visualización.

Supongamos que tiene los siguientes datos:

X  Y
1  6
10 15
20 25
30 35
40 45
50 55

Podemos usar la regresión para modelar Y como respuesta a X. Usando R: lm(y ~ x)

Los resultados son una intersección de 5 y un coeficiente para x de 1. Lo que significa que se puede calcular un Y arbitrario para una X dada como X + 5. Como imagen, puede ver esto de esta manera:

Observe cómo si fue al eje X, en cualquier lugar a lo largo de él, y dibujó una línea hasta la línea ajustada, y luego dibujó una línea sobre el eje Y, puede obtener un valor, independientemente de si proporcioné o no un punto de valor para Y. La regresión es suavizar áreas sin datos al estimar la relación subyacente.

la diferencia básica b / w Interpolación y regresión es la siguiente: Interpolación: supongamos que hay n puntos (por ejemplo: 10 puntos de datos), en la interpolación ajustaremos la curva que pasa por todos los puntos de datos (es decir, aquí 10 puntos de datos) con un grado del polinomio (número de puntos de datos -1; es decir, aquí es 9), donde, como en la regresión, no todos los puntos de datos solo son necesarios un conjunto de ellos para el ajuste de la curva.

generalmente el orden de la Interpolación y regresión será (1,2 o 3) si el orden es más de 3, se verán más oscilaciones en la curva.

La regresión es el proceso de encontrar la línea de mejor ajuste [1]. La interpolación es el proceso de usar la línea de mejor ajuste para estimar el valor de una variable a partir del valor de otra, siempre que el valor que esté usando esté dentro del rango de sus datos. Si está fuera del rango, estaría utilizando Extrapolación [1].

[1] http://mathhelpforum.com/advanced-applied-math/182558-interpolation-vs-regression.html

Con la interpolación o el ajuste de spline, lo que obtenemos son datos numéricos (interpolados entre cada par de datos originales) de mayor tamaño, que cuando se grafican generan el efecto de una curva suave. En realidad, entre cada par de datos originales se ajusta un polinomio diferente, por lo tanto, toda la curva después de la interpolación es una curva continua por partes, donde cada pieza está formada por un polinomio diferente.

Si se busca una representación paramétrica de los datos numéricos originales, se debe hacer una regresión. También puede intentar ajustar un polinomio de alto grado a la spline. En cualquier caso, la representación será una aproximación. También puede verificar qué tan precisa es la aproximación.

Tanto la regresión como la interpolación se usan para predecir los valores de una variable (Y) para un valor dado de otra variable (X). En Regresión podemos predecir cualquier valor de la variable dependiente (Y) para un valor dado de la variable independiente (X) Incluso si está fuera del rango de valores tabulados, pero en el caso de la Interpolación solo podemos predecir los valores de la variable dependiente (Y) para un valor de variable independiente (X) que está dentro del rango de valores dados de X.

La interpolación es el proceso de ajustar una cantidad de puntos entre x = a y x = b exactamente a un polinomio de interpolación. La interpolación se puede usar para encontrar el valor aproximado (o el valor faltante) de y en el dominio x = [a, b] con mayor precisión que la técnica de regresión.

Por otro lado, la regresión es un proceso de ajuste de una cantidad de puntos a una curva que pasa a través de los puntos o cerca de ellos con un mínimo error al cuadrado. La regresión no aproximará el valor de y en el dominio x = [a, b] tan preciso como la interpolación, sin embargo, la regresión proporciona mejores predicciones que la interpolación para los valores de y en el dominio entre x = (- infinito, a) yx = ( b, + infinito).

En resumen, la interpolación proporciona una mejor precisión en el valor de y dentro del dominio de un rango x conocido, mientras que la regresión proporciona mejores predicciones de y en el dominio por debajo y más allá del rango conocido de x.