¿Qué formas de distribución producen la "expectativa pitagórica"?

Deje que $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ y $Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$ variables aleatorias continuas independientes generados a partir de la misma forma distributiva no especificado pero con provisión para diferentes valores de los parámetros. Estoy interesado en encontrar una forma de distribución paramétrica para la cual se cumpla la siguiente probabilidad de muestreo para todos los valores de parámetros permitidos:

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

Mi pregunta: ¿Alguien puede decirme una forma de distribución continua para la cual esto es válido? ¿Hay alguna condición general (no trivial) que conduzca a esto?

Mis pensamientos preliminares: si multiplica ambos parámetros por cualquier constante que no sea cero, entonces la probabilidad permanece sin cambios, por lo que tiene sentido que sea ​​algún tipo de parámetro de escala.$\theta$

Si tomamos dos variables aleatorias exponenciales obtenemos que P ( X > Y | Y = y ) = exp { - θ X y } y E Y [ exp { - θ X Y } ] = ∫ ∞ 0 exp { - θ X y

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ Ahora, siX∼E(θ - 2 X $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ luego P ( X > Y ) = θ 2 $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

$f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

$X$$\left( \alpha,\beta_1 \right)$$Y$$\left( \alpha, \beta_2 \right)$, where alpha is the shape parameter and the betas are scale parameters, then it is known that

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

This can be derived following the same approach given in Xi'an's answer.

Now let $\alpha=2$ for both $X$ and $Y$. If $X$ has scale parameter $\theta_X$ and $Y$ has scale parameter $\theta_Y,$ we have

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$