¿Puedo usar una variable que tenga una relación no lineal con la variable dependiente en la regresión logística?

Digamos que estoy construyendo un modelo de regresión logística donde la variable dependiente es binaria y puede tomar los valores. $0$ o $1$. Deje que las variables independientes sean$x_1, x_2, ..., x_m$ - existen $m$variables independientes. Digamos por el$k$En la variable independiente, el análisis bivariado muestra una tendencia en forma de U, es decir, si agrupo $x_k$ dentro $20$ cada uno de ellos contiene aproximadamente el mismo número de observaciones y calculo la 'tasa mala' para cada contenedor - # observaciones donde y = 0 / observaciones totales en cada contenedor - luego obtengo una curva en forma de U.

Mis preguntas son:

1. ¿Puedo usar directamente $x_k$como entrada al estimar los parámetros beta? ¿Se violan algunos supuestos estadísticos que podrían causar un error significativo en la estimación de los parámetros?
2. ¿Es necesario 'linealizar' esta variable a través de una transformación (log, cuadrado, producto consigo mismo, etc.)?

Debería utilizar una formulación flexible que capture la no linealidad automáticamente, por ejemplo, alguna versión de un modelo aditivo generalizado . La elección de un pobre es un polinomio$x_k$, $x_k^2$, ..., $x_k^{p_k}$, pero tales polinomios producen sobrevuelos terribles en los extremos del rango de sus respectivas variables. Una formulación mucho mejor sería utilizar splines B (cúbicos) (vea una nota de introducción aleatoria de la primera página de Google aquí , y un buen libro, aquí ). Las estrías B son una secuencia de jorobas locales:

http://ars.sciencedirect.com/content/image/1-s2.0-S0169743911002292-gr2.jpg

La altura de las jorobas se determina a partir de su regresión (lineal, logística, otra GLM), ya que la función que está ajustando es simplemente

para la forma funcional especificada de su joroba $B(\cdot)$. Con mucho, la versión más popular es una estría cúbica lisa en forma de campana:

En el lado de la implementación, todo lo que necesita hacer es configurar 3-5-10, cualquier número de nudos $x_k$ sería razonable para su aplicación y crearía las variables 3-5-10 correspondientes en el conjunto de datos con los valores de $B\Bigl( \frac{x-x_k}{h_k} \Bigr)$. Por lo general, se elige una cuadrícula de valores simple, con$h_k$ siendo el doble del tamaño de malla de la cuadrícula, de modo que en cada punto, hay dos splines B superpuestas, como en el diagrama anterior.

Al igual que la regresión lineal, se requiere que la regresión logística y los modelos lineales más generalizados sean lineales en los parámetros, pero no necesariamente en las covariables. Entonces, se pueden usar términos polinómicos como un cuadrático que Macro sugiere. Este es un malentendido común del término lineal en los modelos lineales generalizados. Los modelos no lineales son modelos que no son lineales en los parámetros. Si el modelo es lineal en los parámetros y contiene términos de ruido aditivo que son IID, el modelo es lineal incluso si hay covariables como X$^2$log X o exp (X). Como ahora leo la pregunta, parece estar editada. Mi respuesta específica sería sí a 1 y no necesaria a 2.

Otra alternativa viable que emplea el taller de modelaje para el que trabajo habitualmente es agrupar las variables independientes continuas y sustituir la 'tasa mala'. Esto obliga a una relación lineal.