¿Diferencias entre un modelo estadístico y un modelo de probabilidad?

La probabilidad aplicada es una rama importante en la probabilidad, incluida la probabilidad computacional. Dado que las estadísticas utilizan la teoría de la probabilidad para construir modelos para tratar con datos, según tengo entendido, me pregunto cuál es la diferencia esencial entre el modelo estadístico y el modelo de probabilidad. ¿El modelo de probabilidad no necesita datos reales? Gracias.

Un Modelo de probabilidad consiste en el triplete , donde Ω es el espacio de la muestra, F es una σ -algebra (eventos) y P es una medida de probabilidad en F .$(\Omega,{\mathcal F},{\mathbb P})$$\Omega$${\mathcal F}$$\sigma$${\mathbb P}$${\mathcal F}$

Explicación intuitiva . Un modelo de probabilidad puede ser interpretado como un conocido variable aleatoria . Por ejemplo, sea X una variable aleatoria normalmente distribuida con media 0 y varianza 1 . En este caso, la medida de probabilidad P está asociada con la Función de distribución acumulativa (CDF) F a través de$X$$X$$0$$1$${\mathbb P}$$F$

Generalizaciones . La definición del modelo de probabilidad depende de la definición matemática de probabilidad, ver, por ejemplo, probabilidad libre y probabilidad cuántica .

Un modelo estadístico es un conjunto de modelos de probabilidad, es decir, un conjunto de medidas / distribuciones de probabilidad en el espacio muestral Ω .${\mathcal S}$$\Omega$

Este conjunto de distribuciones de probabilidad generalmente se selecciona para modelar un determinado fenómeno del cual tenemos datos.

Explicación intuitiva . En un modelo estadístico, los parámetros y la distribución que describen un determinado fenómeno son desconocidos. Un ejemplo de esto es la familia de distribuciones normales con media y varianza σ 2 ∈ R + , es decir, ambos parámetros son desconocidos y normalmente desea utilizar el conjunto de datos para estimar los parámetros (es decir, seleccionar un elemento de S ) Este conjunto de distribuciones se puede elegir en cualquier Ω y F , pero, si no me equivoco, en un ejemplo real solo las definidas en el mismo par ( Ω , F$\mu\in{\mathbb R}$$\sigma^2\in{\mathbb R_+}$${\mathcal S}$$\Omega$${\mathcal F}$$(\Omega,{\mathcal F})$ son razonables de considerar.

Generalizaciones . Este documento proporciona una definición muy formal del modelo estadístico, pero el autor menciona que "el modelo bayesiano requiere un componente adicional en forma de distribución previa ... aunque las formulaciones bayesianas no son el foco principal de este documento". Por lo tanto, la definición de modelo estadístico depende del tipo de modelo que usemos: paramétrico o no paramétrico. También en la configuración paramétrica, la definición depende de cómo se tratan los parámetros (por ejemplo, clásico versus bayesiano).

La diferencia es: en un modelo de probabilidad usted conoce exactamente la medida de probabilidad, por ejemplo, una , donde μ 0 , σ 2 0 son parámetros conocidos, mientras que en un modelo estadístico considera conjuntos de distribuciones , por ejemplo Normal ( μ , σ 2 ) , donde μ , σ 2 son parámetros desconocidos.$\mbox{Normal}(\mu_0,\sigma_0^2)$$\mu_0,\sigma_0^2$$\mbox{Normal}(\mu,\sigma^2)$$\mu,\sigma^2$

Ninguno de ellos requiere un conjunto de datos, pero diría que generalmente se selecciona un modelo estadístico para modelar uno.