Obtenga distribución conjunta de la distribución marginal por pares

Supongamos que tenemos 3 variables aleatorias , y conocemos la distribución marginal por pares , pero no sabemos nada más (como como independencia condicional). ¿Podemos obtener la distribución conjunta ?$X_1,X_2,X_3$$P(X_1,X_2), P(X_2,X_3), P(X_3,X_1)$$P(X_1,X_2,X_3)$

No.

Considere una distribución trivariada con márgenes normales bivariados (estándar, independientes), pero con la mitad de los octantes con probabilidad 0 y la mitad con probabilidad doble. Específicamente, considere octantes ---, - ++, + - +, ++ - tienen doble probabilidad.

Luego, los márgenes bivariados son indistinguibles del que obtendría con tres variables normales estándar iid. De hecho, hay una infinidad de distribuciones trivariadas que producirían los mismos márgenes bivariados.

Como Dilip Sawarte señala en los comentarios, ha discutido esencialmente el mismo ejemplo en una respuesta (pero invirtiendo los octantes que se duplican y se ponen a cero), y lo define de una manera más formal. Whuber menciona un ejemplo que involucra variantes de Bernoulli que (en el caso trivariado) se ve así:

  X3=0      X1                  X3=1      X1
          0    1                        0    1

    0    1/4   0                  0     0   1/4 
 X2                         X2
    1     0   1/4                 1    1/4   0

... donde estaría cada margen bivariado

            Xi         
          0    1       

    0    1/4  1/4      
 Xj                  
    1    1/4  1/4    

y entonces sería equivalente al caso de tres variantes independientes (o de hecho a tres con exactamente la forma inversa de dependencia).

Un ejemplo estrechamente relacionado sobre el que comencé a escribir inicialmente involucraba un uniforme trivariado con "cortes" alternos en un patrón de tablero de ajedrez de mayor y menor probabilidad (generalizando el cero y el doble habituales).

Por lo tanto, no puede calcular el trivariado de los márgenes bivariados en general.