¿Cuál es la definición de una distribución simétrica?

¿Cuál es la definición de una distribución simétrica? Alguien me dijo que una variable aleatoria provenía de una distribución simétrica si y solo si y tienen la misma distribución. Pero creo que esta definición es parcialmente cierta. Porque puedo presentar un contraejemplo y . Obviamente, tiene una distribución simétrica, ¡pero y tienen una distribución diferente! Estoy en lo cierto? ¿Alguna vez pensaron en esta pregunta? ¿Cuál es la definición exacta de distribución simétrica? $X$ $X$ $-X$ $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ $\mu\neq0$ $X$ $-X$

distributions definition symmetry shijing SI
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Cuando dice que una "distribución es simétrica", debe especificar con respecto a qué punto es simétrica. En el caso de la distribución normal que presenta, la simetría se da alrededor de . En este caso, y tienen la misma distribución. En términos de densidad, esto se puede expresar como: es simétrico respecto de si . Por cierto, es de buena educación aceptar respuestas cuando está satisfecho con una de ellas.

μ

$\mu$

X - μ

$X-\mu$

- (X - μ)

$-(X-\mu)$

f

$f$

μ

$\mu$

f (μ - x) = f (μ + x)

$f(\mu-x)=f(\mu+x)$

Sí, nosotros hemos pensado en esta pregunta. Simétrico generalmente significa simétrico alrededor de y, para evitar contraejemplos adicionales, la afirmación de que las distribuciones son simétricas no es algo cierto sobre la función de distribución de probabilidad acumulativa . Su "contraejemplo" tiene simetría sobre el punto

, no sobre el punto

0

$0$

μ \neq 0

$\mu \neq 0$

0

$0$

Dilip Sarwate

@Dilip Cuando una definición depende de una forma de describir algo, pero se puede demostrar que esa definición es una propiedad intrínseca de ese algo, entonces no tiene sentido aplicar la definición a una forma diferente de descripción. En este caso, la simetría es una propiedad de una distribución , pero eso no implica que todas las descripciones de esa distribución (incluidos el PDF y el CDF) deben ser "simétricas" de la misma manera. Al aplicar la simetría del PDF al CDF, su comentario confunde la pregunta en lugar de aclararla.

whuber

shijing, @Procrastinator ha observado que ha hecho muchas preguntas sin aceptar ninguna respuesta. Eso sugiere que puede no estar familiarizado con el funcionamiento de este sitio. Para aclarar cualquier malentendido, ¿podría leer la parte relevante de nuestras preguntas frecuentes hasta el final ? Tomará solo un par de minutos y seguir su guía mejorará el valor de nuestro sitio para usted.

whuber

@whuber El CDF es una de las pocas descripciones en las que la distribución de palabras se produce realmente en el nombre, y estaba tratando de aclarar que la propiedad de simetría no era válida para el CDF.

Dilip Sarwate

Respuestas:

Brevemente: es simétrico cuando y tienen la misma distribución para algún número real . $X$ $X$ $2a-X$ $a$ Pero llegar a esto de una manera totalmente justificada requiere cierta digresión y generalizaciones, porque plantea muchas preguntas implícitas: ¿por qué esta definición de "simétrica"? ¿Puede haber otros tipos de simetrías? ¿Cuál es la relación entre una distribución y sus simetrías y, por el contrario, cuál es la relación entre una "simetría" y aquellas distribuciones que podrían tener esa simetría?

Las simetrías en cuestión son reflejos de la línea real. Todos son de la forma

x \to 2 a - x

$x \to 2a-x$

por alguna constante . $a$

Entonces, supongamos que tiene esta simetría para al menos uno . Entonces la simetría implica $X$ $a$

Pr [X \geq a] = Pr [2 a - X \geq a] = Pr [X \leq a]

$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$

mostrando que es una mediana de . Del mismo modo, si tiene una expectativa, entonces inmediatamente se deduce que . Así lo general podemos precisar facilidad. Incluso si no, (y, por lo tanto, la simetría en sí misma) todavía está determinada de forma única (si es que existe). $a$ $X$ $X$ $a = E[X]$ $a$ $a$

Para ver esto, deje que sea cualquier centro de simetría. Luego, aplicando ambas simetrías, vemos que es invariante bajo la traducción . Si , la distribución de debe tener un período de , lo cual es imposible porque la probabilidad total de una distribución periódica es o infinita. Por lo tanto, , lo que demuestra que es único. $b$ $X$ $x \to x + 2(b-a)$ $b-a \ne 0$ $X$ $b-a$ $0$ $b-a=0$ $a$

En términos más generales, cuando es un grupo que actúa fielmente en la línea real (y, por extensión, en todos sus subconjuntos de Borel), podríamos decir que una distribución es "simétrica" (con respecto a ) cuando $G$ $X$ $G$

Pr [X \in E] = Pr [X \in E^{g}]

$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$

para todos los conjuntos medibles y elementos , donde denota la imagen de bajo la acción de . $E$ $g \in G$ $E^g$ $E$ $g$

Como ejemplo, dejemos que siga siendo un grupo de orden , pero ahora que su acción sea tomar el recíproco de un número real (y dejar que arregle ). La distribución lognormal estándar es simétrica con respecto a este grupo. Este ejemplo puede entenderse como una instancia de una simetría de reflexión donde se ha producido una reexpresión no lineal de las coordenadas. Esto sugiere enfocarse en transformaciones que respeten la "estructura" de la línea real. La estructura esencial para la probabilidad debe estar relacionada con los conjuntos de Borel y la medida de Lebesgue, que se pueden definir en términos de distancia (euclidiana) entre dos puntos. $G$ $2$ $0$

Un mapa de preservación de distancia es, por definición, una isometría. Es bien sabido (y fácil, aunque un poco complicado, demostrar) que todas las isometrías de la línea real son generadas por reflexiones. Por lo tanto, cuando se entiende que "simétrico" significa simétrico con respecto a algún grupo de isometrías , el grupo debe ser generado como máximo por una reflexión y hemos visto que la reflexión está determinada únicamente por cualquier distribución simétrica con respecto a ella. En este sentido, el análisis anterior es exhaustivo y justifica la terminología habitual de las distribuciones "simétricas".

Incidentalmente, se ofrece una gran cantidad de ejemplos multivariados de distribuciones invariantes bajo grupos de isometrías al considerar distribuciones "esféricas". Estos son invariables en todas las rotaciones (en relación con algún centro fijo). Estos generalizan el caso unidimensional: las "rotaciones" de la línea real son solo los reflejos.

Finalmente, vale la pena señalar que una construcción estándar, promediando sobre el grupo, proporciona una forma de producir cargas de distribuciones simétricas. En el caso de la línea real, deje que sea generada por la reflexión sobre un punto , de modo que consista en el elemento de identidad esta reflexión, . Deje ser cualquier distribución. Defina la distribución configurando $G$ $a$ $e$ $g$ $X$ $Y$

{Pr}_{Y} [E] = \frac{1}{| G |} \sum_{g \in G} {Pr}_{X} [E^{g}] = ({Pr}_{X} [E] + {Pr}_{X} [E^{g}]) / 2

${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$

para todos los conjuntos de Borel . Esto es manifiestamente simétrico y es fácil verificar que sigue siendo una distribución (todas las probabilidades permanecen no negativas y la probabilidad total es ). $E$ $1$

Gama

Para ilustrar el proceso de promedio de grupo, el PDF de una distribución gamma simétrica (centrada en ) se muestra en oro. El Gamma original está en azul y su reflejo está en rojo. $a=2$

whuber
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(+1) Me gustaría agregar que, en la configuración multivariante, la definición de simetría no es única. En este libro hay 8 posibles definiciones de distribuciones multivariadas simétricas.

@Procrastinator Tengo curiosidad acerca de lo que podrías decir con "no único". AFAIK, cualquier cosa que justifique el nombre "simetría" se refiere en última instancia a una acción grupal en un espacio. Sería interesante ver qué diferentes tipos de acciones los estadísticos han encontrado útiles. Debido a que ese libro está agotado y no está disponible en la Web, ¿podría dar un ejemplo rápido de dos tipos de simetría realmente diferentes considerados en ese libro?

whuber

Su intuición es correcta, esto está relacionado con características estadísticas: simetría central ; Simetría esférica para toda la matriz ortogonal . No puedo recordar el resto, pero intentaré tomar prestado el libro en estos días. En este enlace puedes encontrar algunos de ellos.

X - μ \overset{d}{=} - (X - μ)

${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$

X - μ \overset{d}{=} O (X - μ)

$X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$

O

${\bf O}$

@ Procrastinator Gracias. Tenga en cuenta que los dos ejemplos que ofrece son ambos casos especiales de la definición general que he proporcionado: la simetría central genera un grupo de isometrías de dos elementos y las simetrías esféricas también son un subgrupo de todas las isometrías. La "simetría elíptica" en el enlace es una simetría esférica después de una transformación afín, y así ejemplifica el fenómeno que señalé con el ejemplo lognormal. Las "simetrías angulares" nuevamente forman un grupo de isometrías. La "simetría de medio espacio" [sic] no es una simetría, pero permite desviaciones discretas de la misma: eso es nuevo.

whuber

La respuesta dependerá de lo que quieras decir con simetría. En física, la noción de simetría es fundamental y se ha vuelto muy general. La simetría es cualquier operación que deja el sistema sin cambios. En el caso de una distribución de probabilidad, esto podría traducirse a cualquier operación que devuelva la misma probabilidad . $X \to X'$ $P(X) = P(X')$

En el caso simple del primer ejemplo, se refiere a la simetría de reflexión sobre el máximo. Si la distribución fuera sinusoidal, entonces podría tener la condición , donde es la longitud de onda o el período. Entonces y aún encajaría en una definición más general de simetría. $X \to X + \lambda$ $\lambda$ $P(X) = P(X + \lambda)$

Michael Hoffman
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