¿Por qué P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)?

Entiendo $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$ . El condicional es la intersección de A y B dividida por toda el área de B.

Pero, ¿por qué $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$ ?

¿Puedes darme algo de intuición?

¿No debería ser: $P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$ ?

Cualquier resultado de probabilidad que sea verdadero para la probabilidad incondicional permanece verdadero si todo está condicionado por algún evento.

Sabes que, por definición, y, por lo tanto, si condicionamos que todoocurrieraenC, obtenemos que P(A∣(B∩C))=P((A∩B)∣C

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$$ $C$ exactamente como te dice tu intuición. Pero, puede establecerD=B∩C y comenzar con la definición deP(A∣(B∩C))=P(A∣D)como en(1)P(A∣(B∩C))=P(A∣D)=P $$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$$ $D = B\cap C$$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$$(1)$ y luego multiplica y divide porP(C))a la derecha de(3)para escribir el resultado final como(2)como en la respuesta de Taylor. $$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$$ $P(C))$$(3)$$(2)$

$$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$$

$$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$$

Mi intuición es la siguiente ...

Acondicionamiento en $C$ significa que estamos considerando solo los casos cuando $C$es dado. Ahora, supongamos que vivo en un mundo donde$C$ siempre se da.

Mi gente no sabe nada y no puede imaginar un mundo sin $C$. Por alguna razón, nuestros matemáticos denotan la probabilidad de$X$ por $\hat{P}(X)$. También han descubierto la regla.

$$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$$

Ahora, como terrícola, conoces un mundo donde $C$No es parte de los supuestos en la vida cotidiana. Entonces, cuando vienes a nuestro planeta, puedes notar de inmediato que todas nuestras probabilidades$\hat P(X)$ en realidad corresponde a su $P(X|C)$.

Inmediatamente puede reescribir el RHS, siguiendo el descubrimiento superior:

$$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$$

Pero ... ¿Qué es el LHS? Bueno, ¿cuál es la probabilidad de$A$ cuando $B$ se da cuando $C$es (también) dado? Precisamente

$$P(A\mid B\cap C)\text{,}$$ De ahí la fórmula.