Supongamos que tenemos un vector aleatorio normal multivariado
con y matriz completa positiva simétrica de rango completo .μ ∈ R k k × k Σ = ( σ i j )
( registroX1, ... , iniciar sesiónXk) ∼ N( μ , Σ ),
μ ∈ Rkk × kΣ = ( σyo j)
Para lognormal no es difícil demostrar que
m i : = E [ X i ] = e μ i + σ i i / 2( X1, ... , Xk)c i j : = Cov [ X i , X j ] = m i
metroyo: = E [ Xyo] = eμyo+ σyo i/ 2,i = 1 , ... , k,
Cyo j: = Cov [ Xyo, Xj] = myometroj( eσyo j- 1 ),i , j = 1 , ... , k,
y se deduce que .Cyo j> - myometroj
Por lo tanto, podemos hacer la pregunta inversa: dado y matriz simétrica positiva definida , satisfaciendo , si dejamos
tendremos un vector lognormal con los medios y covarianzas prescritos. k × k C = ( c i j ) c i j > - m i m j μ i = log m i - 1m = ( m1, ... , mk) ∈ Rk+k × kC= ( cyo j)Cyo j> - myometrojσ i j = log ( c i j
μyo= logmetroyo- 12Iniciar sesión( cyo imetro2yo+ 1 ),i = 1 , ... , k,
σyo j= log( cyo jmetroyometroj+ 1 ),i , j = 1 , ... , k,
La restricción en y es equivalente a la condición natural .m E [ X i X j ] > 0CmetroE [ XyoXj] > 0
En realidad, tengo una solución definitivamente peatonal.
y así sucesivamente ... Sin embargo, dadas las restricciones sobre los parámetros y la naturaleza no lineal de las ecuaciones de momento, puede ser que algunos conjuntos de momentos no correspondan a ningún conjunto aceptable de parámetros.
Por ejemplo, cuando , termino con el sistema de ecuacionesk=2
actualización (04/04): deinst reformuló esta pregunta como una nueva pregunta en el foro de matemáticas.
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OK, esta es una respuesta al comentario de Xi'an. Es demasiado largo y tiene mucho TeX para ser un comentario cómodo. Advertencia Lector: Es prácticamente seguro que he cometido un error de álgebra. Esto no parece ser tan flexible como pensé al principio.
Creemos una familia de distribuciones en de la forma Sea y . Deje será un polinomio de dos términos donde son números reales mayores que 0 para todo . Entonces encontramos queR3+
Ahora, por conveniencia, definamos y
Ahora, como la media de nuestra distribución es el gradiente de , tenemos , , y . Y como la covarianza es la arpillera de , tenemos y (los otros términos de la matriz de covarianza obtenidos al cambiar los subíndices de la manera obvia).A μX=e1c′+f1d′θ1(c′+d′) μY=e2c′+f2d′θ2(c′+d′) μZ=e3c′+f3d′θ3(c′+d′) A Cov(X,Y)=(e1-f1)(e2-f2)c′d′
Esto no parece ser suficiente flexibilidad para obtener una matriz de covarianza. Necesito probar otro término en el polinomio (pero sospecho que también puede no funcionar (obviamente necesito pensar más en esto)).
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