¿Cuál es la distribución de la suma de las variables aleatorias de chi-cuadrado al cuadrado?

¿Cuál sería la distribución de la siguiente ecuación?

y = a^{2} + 2 a d + d^{2}

$y = a^2 + 2ad + d^2$

donde y son variables aleatorias de chi-cuadrado no centrales independientes con grados de libertad. $a$ $d$ $2 \textbf{M}$

OBS .: Los rv que generan y tienen y , digamos . $a$ $d$ $\mu = 0$ $\sigma^2 \neq 1$ $\sigma^2 = c$

distributions chi-squared pdf Felipe Augusto de Figueiredo
fuente

1. ¿Cómo se y relacionadas? 2. Las variables aleatorias de chi-cuadrado ya tienen media> 0 ¿Por qué necesitaría declararlo explícitamente? (¿O está tratando de referirse a un chi-cuadrado no central?)

a

$a$

d

$d$

Glen_b -Reinstale a Monica el

Acabo de agregar más información a la pregunta. Son vv de chi-cuadrado no centrales, ya que fueron generados por variables aleatorias gaussianas complejas simétricas circulares no estándar.

Felipe Augusto de Figueiredo

¿2M son los grados de libertad para cada uno de los dos?

Alecos Papadopoulos

Felipe, en su pregunta que indique y hacer "tener " pero ahora en su último comentario que indique que no tienen esta propiedad. Cual es ??

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

whuber

Gracias por intentar explicarlo, pero todavía no puedo entenderlo. Cuando escribes " y son variables aleatorias de chi-cuadrado no centrales independientes", parece que estás sumando cuadrados de variables aleatorias normales que tienen medias distintas de cero, porque así es como generalmente surgen las variables de chi-cuadrado no central. Pero luego escribes "Los rv que generan y tienen ", lo que sugiere que estás trabajando con variables Chi-cuadrado centrales . Sospecho que estas son las inconsistencias que provocaron el comentario inicial de @Glen_b. ¿Podría mostrar explícitamente lo que y

a

$a$

d

$d$

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu=0$

a

$a$

d

$d$ ¿son?

whuber

Respuestas:

Si son independientes, entonces tendrá una . Dado que no es negativo, CDF de se puede encontrar señalandoPor lo tanto, $a, d\sim\chi^2_{2M}$ $X=a+d$ $\chi^2_{4M}$ $X$ $Y=a^2+2ad+d^2=(a+d)^2=X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y}) .

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y}).$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = \frac{1}{2^{2 M + 1} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y})=\frac{1}{2^{2M+1}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2}.$

Si y se correlacionan entonces las cosas son mucho más complejas. Véase, por ejemplo, la función de distribución acumulativa de NH Gordon y PF Ramig de la suma de variables aleatorias de chi-cuadrado correlacionadas (1983) para una definición de chi-cuadrado multivariante y la distribución de su suma. $a$ $d$

Si entonces está tratando con chi-cuadrado no central, por lo que lo anterior ya no será válido. Esta publicación puede proporcionar alguna información. $\mu\neq 2M$

EDIT: En base a la nueva información parece y se forman mediante la suma de rv normal con no varianza unitaria. Recuerde si entonces . Como ahora ambos tendrán una distribución chi-cuadrado escalada por , es decir, la distribución . En este caso, será distribuido. Como resultado, para tenemos $a$ $d$ $Z\sim N(0, 1)$ $\sqrt{c}Z\sim N(0, c)$

a = c \sum_{i = 1}^{2 M} Z_{i}^{2} = d,

$a=c\sum_{i=1}^{2M}Z_i^2=d,$

a, d

$a,d$

c

$c$

Γ (M, 2 c)

$\Gamma(M, 2c)$

X = a + d

$X=a+d$

Γ (2 M, 2 c)

$\Gamma(2M, 2c)$

Y = X^{2}

$Y=X^2$

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (2 c)^{2 M} Γ (2 M)} y^{M - 1} e^{- \sqrt{y} / 2 c} .

$f_Y(y)=\frac{1}{2(2c)^{2M}\Gamma(2M)}y^{M-1}e^{-\sqrt{y}/2c}.$

Francis
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¿Cómo entra mu? ¿Se supone que es la media de una de las variables de chi-cuadrado? Sospecho que no tiene nada que ver con el problema.

Michael R. Chernick

@MichaelChernick: probablemente significa que puede ser chi-cuadrado no central?

a, d

$a, d$

Francis

Supongo que puede hacer esa suposición, pero el OP no hace ninguna conexión. Creo que tomaste el enfoque correcto, lo no central no pudo entrar en este problema. X es el cuadrado de un chi-cuadrado aquí. En el caso de independencia que utilizó aquí, ¿cómo se llama esta distribución?

Michael R. Chernick

@MichaelChernick No estoy seguro de si hay un nombre especial asociado con la distribución. ¿"Chi-tesseracted" tal vez?

Francis

a

$a$ y son chi-cuadrado no central.

d

$d$

Felipe Augusto de Figueiredo

Dado que un chi-cuadrado no central es una suma de rv independientes, entonces la suma de dos chi-cuadrados no centrales independientes también es un chi-cuadrado no central con parámetros la suma de los parámetros correspondientes de los dos componentes, (grados de libertad), (parámetro de no centralidad). $X = a+b$ $k_x = k_a+k_b$ $\lambda_x = \lambda_a+\lambda_b$

Para obtener la función de distribución de su cuadrado , se puede aplicar el "método CDF" (como en la respuesta @francis), $Y =X^2$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = P (X^{2} \leq y) = P (X \leq \sqrt{y}) = F_{X} (\sqrt{y})

$F_Y(y)=P(Y\leq y)=P(X^2\leq y)=P(X\leq \sqrt{y})=F_X(\sqrt{y})$

y donde

F_{X} (x) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, \sqrt{x})

$F_X(x)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, \sqrt{x} \right)$

entonces

F_{Y} (y) = 1 - Q_{k_{x} / 2} (\sqrt{λ_{x}}, y^{1 / 4})

$F_Y(y)=1 - Q_{k_x/2} \left( \sqrt{\lambda_x}, y^{1/4} \right)$

donde aquí es la función Q de Marcum . $Q$

Lo anterior se aplica a los chi-cuadrados no centrales formados como sumas de normales al cuadrado independientes, cada una con varianza unitaria pero con una media diferente.

Adenda que responde a la edición de la pregunta

Si los rv base son , entonces el cuadrado de cada uno es un ver https://stats.stackexchange.com/a/122864/28746 . $N(0,c)$ $Gamma (1/2,2c)$

Entonces el rv y también (parametrización de escala de forma, y vea el artículo de Wikipedia para el propiedades aditivas para Gamma). $a \sim Gamma (M, 2c)$ $b \sim Gamma (M, 2c)$ $X = a+b \sim Gamma(2M, 2c)$

Entonces uno puede aplicar nuevamente el método CDF para encontrar el CDF del cuadrado $Y = X^2$

Alecos Papadopoulos
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@FelipeAugustodeFigueiredo Lo siento, no estoy familiarizado con los complejos rv. Mi respuesta tomó como dado el hecho de que comenzamos desde chi-cuadrados no centrales.

Alecos Papadopoulos

¿Qué sucede si los rv son variables aleatorias gaussianas complejas simétricas circulares con y ?

μ = 0

$\mu = 0$

σ = c I

$\sigma = cI$

Felipe Augusto de Figueiredo

Olvidémonos de los complejos rv. ¿Qué sucede si los rv que generan y son rv gaussianos con y ? Todos los vehículos gaussianos tienen la misma varianza, llamémosla .

a

$a$

d

$d$

μ = 0

$\mu = 0$

σ \neq 1

$\sigma \neq 1$

c

$c$

Felipe Augusto de Figueiredo

¿podría ayudarme con la siguiente pregunta: stats.stackexchange.com/questions/253764/… . Cualquier pista sería muy apreciada. ¡Gracias!

Felipe Augusto de Figueiredo

@FelipeAugustodeFigueiredo Me temo que no tengo nada que ofrecer para esa pregunta.

Alecos Papadopoulos