¿Es Si es así, ¿cómo probarlo?

¿ ? Además, ¿qué pasa con Estoy confundido por las relaciones. Parece intuitivamente ser el caso. Si es correcto, ¿cómo lo pruebo matemáticamente? He buscado en este sitio y en otros lugares ...$E[E(X|Y)|Z] =E[X|Y,Z]$$E[E(X|Y=y)|Z=z] =E[X|Y=y,Z=z]$

Esas dos expectativas condicionales difieren en general:

$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z] \ne\mathbb{E}[X|Y,Z]$$

De hecho, estrictamente hablando, ni siquiera viven en el mismo espacio funcional que el primero es una función de , wrt medible , el álgebra inducida por , mientras que el segundo es una función de , por lo tanto, medible wrt , el álgebra inducida por ,$Z$$\sigma(Z)$$\sigma$$Z$$(Y,Z)$$\sigma(Y,Z)$$\sigma$$(Y,Z)$

Como contraejemplo, considere la configuración cuando

1. $X$ e son independientes$Y$
2. $X$ y son dependientes, con$Z$$\mathbb{E}[X|Z]\ne \mathbb{E}[X]$

Entonces, debido a la independencia entre e , y, por lo tanto,$X$$Y$$\mathbb{E}(X|Y)=\mathbb{E}[X]$

En cambio, una igualdad válida es que se aplica a todas las relaciones de dependencia entre las tres variables aleatorias.

Notaciones: La diferencia entre las notaciones y es eso$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$

1. $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$ es una variable aleatoria, transformada de la variable aleatoria (y no de la variable aleatoria ya que Y también está condicionada por );$Z$$Y$$Y$$Z$
2. $\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$ es una función de aparentemente tanto como , pero en realidad solo de (como se explica a continuación) que no tiene un significado claro Un punto de vista probabilístico . De hecho, para un valor dado , es una constante para la cual tener una expectativa condicional condicional en la realización tiene poco sentido ya que también devuelve . Por ejemplo, si depende de y como una variable aleatoria, para una realización dada de$y$$z$$y$$y$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$Z=z$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$X$$Y$$X$$y$$Y$y de , es una constante que generalmente difiere de y de . Pero no es una realización de la variable aleatoria . La realización correcta es$Z$$z$$\mathbb{E}(X|Y=y)$$\mathbb{E}(X)$$\mathbb{E}(X|Y=y,Z=z)$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y=y)|Z=z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z]$$\mathbb{E}[\mathbb{E}(X|Y)|Z=z]$