¿Se puede entender el núcleo coseno como un caso de distribución Beta?

Como señalaron Wand y Jones (1995), la mayoría de los núcleos estándar pueden verse como un caso de

K (x; p) = {2^{2 p + 1} B (p + 1, p + 1)}^{- 1} (1 - x^{2})^{p} 1_{{| x | < 1}}

$K(x;p) = \{ 2^{2p+1} \; \mathrm{B}(p+1,p+1) \}^{-1} \; (1-x^2)^p \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

familia, donde $\mathrm{B}(\cdot,\cdot)$ es una función Beta. Diferentes valores de $p$ conducen a núcleos rectangulares ( $p=0$ ), Epanechnikov ( $p=1$ ), biweight ( $p=2$ ) y triweight ( $p=3$ ).

Puede coseno kernel (como se entiende en la densityfunción de R ),

\frac{1}{2} (1 + \cos (π x)) 1_{{| x | < 1}}

$\frac{1}{2} (1 + \cos(\pi x)) \;\boldsymbol{1}_{\{|x|<1\}}$

¿También ser pensado como miembro de esta familia? Si es así, ¿cuál es el valor apropiado de $p$ para ello? Después de hacer algunas simulaciones, supongo que $\approx 2.35$ está bastante cerca, pero ¿cómo puedo encontrar la correcta sin simulación? Si no, ¿se puede aproximar usando la distribución beta?

Wand, MP y Jones, MC (1995). Alisado del grano. Chapman and Hall, Londres.

distributions kernel-smoothing beta-distribution Tim
fuente

La función beta con argumentos enteros es solo una proporción de factoriales, pero para argumentos no enteros dudo que se simplifique a algo útil; y ciertamente es solo un número dependiendo de por lo que no hay forma de que pueda obtener una función coseno de esta expresión.

p

$p$

ameba

@amoeba todavía, ¿puede ser aproximado? Y la segunda pregunta es: ¿cómo encontraron los valores para los otros núcleos?

Tim

@Tim, ¿qué quieres decir con "cómo se encontraron"? ¿Solo con enchufarlo?

Christoph Hanck

@amoeba, no necesitas todo el coseno, solo la curva entre . Como sabemos, es una suma infinita de polinomios (expansión de Taylor alrededor de cero).

{- 1, 1}

$\{-1,1\}$

Firebug

@ChristophHanck bien, esto era obvio, retracto esta pregunta :) De alguna manera comencé a pensar en términos de distribución Beta en lugar de centrarme directamente en ella.

Tim

Respuestas:

El núcleo del coseno no es una distribución beta.

Tenga en cuenta que las siguientes cosas son ciertas para la densidad estándar del coseno:

$f(0)=1$
$f(0.5)=0.5$
La mitad derecha de esta densidad es rotacionalmente simétrica respecto a : (es decir, considerando las otras dos propiedades, implica ) $x=\frac12$ $1-f(x)=f(1-x)$

Pero ninguna densidad beta en (-1,1) tendrá todas estas propiedades juntas.

La densidad simétrica del núcleo beta se puede escribir como:

$g(x;a)= \frac{(1-x^2)^{a-1}}{\text{B}(a,a)2^{2a-1}}\,,\:-1<x<1\,,\:a>0$

Por ejemplo, la primera condición implica una de aproximadamente ( ). El segundo implica una de 1 ( ). $a$ $3.38175$ $p=2.38175$ $a$ $p=0$

Sin embargo, los valores de cerca de esa elección de (3.38175) dan densidades realmente bastante cercanas al coseno. $a$ $a$

[Esto está bastante cerca de su (ya que ); un rango de valores en esta región da densidades similares al coseno.] $p=2.35$ $p=a-1$

La desviación absoluta más pequeña en la densidad ocurre para , no es que minimizar las desviaciones absolutas hará que las propiedades sean más parecidas. $p\approx 2.3575$

Aquí está el coseno y beta (con ): $p=2.3575$

Aunque no son lo mismo, tienen una forma bastante similar.

Glen_b -Reinstate a Monica
fuente

Sólo quería decir gracias. Es interesante saber que si bien es imposible obtener una coincidencia exacta, podemos acercarnos tanto por aproximación.

Tim

El valor de debería sorprender, porque una aproximación de la serie Taylor de tercer orden al coseno sugiere .

3.38 \dots

$3.38\ldots$

a = π^{2} / 4 + 1 = 3.46 \dots

$a=\pi^2/4+1=3.46\ldots$

whuber