¿Cuál es la diferencia entre variable aleatoria y muestra aleatoria?

Estas dos expresiones me confundieron mucho cuando estaba aprendiendo estadísticas. Me parece que son cosas totalmente diferentes.

Una muestra aleatoria es tomar una muestra aleatoria de una población, mientras que una variable aleatoria es como una función que asigna el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento a un número real.

Sin embargo, supongamos que si algunas muestras , , y , donde y son desconocidas, ¿son , , muestras aleatorias o variables aleatorias?$X_1$$X_2$$X_3$$X_i \sim N(\mu,\sigma^2)$$\mu$$\sigma$$X_1$$X_2$$X_3$

Sí, una variable aleatoria , , es una función desde el espacio muestral hasta la línea real. Esta es una fórmula determinista que puede ser tan simple como escribir el número en el que cae un dado en el experimento aleatorio de tirar un dado. El experimento es aleatorio, en la forma en que no controlamos muchos de los factores físicos que determinan su resultado; sin embargo, tan pronto como el dado aterriza, la variable aleatoria asigna el resultado en el mundo físico a un número.$X:\Omega \rightarrow \mathbb R$

Otros ejemplos incluirían medir la altura de una muestra de ocho alumnos, quizás para inferir los parámetros de la población (incluyendo la media y la varianza). Cada niño o niña sería un experimento aleatorio, más o menos como tirar una moneda. Sin embargo, una vez que se selecciona un sujeto, la asignación real a un número en pulgadas o centímetros no está sujeta a aleatoriedad, a pesar de su nombre de "variable aleatoria".

Un grupo de tales experimentos constituiría una muestra :

En estadística, una muestra aleatoria simple es un subconjunto de individuos (una muestra) elegidos de un conjunto más grande (una población). Cada individuo se elige al azar y completamente por casualidad, de modo que cada individuo tiene la misma probabilidad de ser elegido en cualquier etapa durante el proceso de muestreo, y cada subconjunto de individuos tiene la misma probabilidad de ser elegido para la muestra que cualquier otro subconjunto de individuos.$k$$k$

Creo que en el OP son una muestra de una distribución normal (aunque no lo deletreaste, creo que esa era la intención), y cada uno de los es una realización de La variable aleatoria.$\{X_1, X_2, X_3\}$$X_i$

Aquí hay una publicación idéntica en Quora y una publicación paralela en Math SE .

Además, recomiendo la serie de conferencias del profesor Krishna Jagannathan del IIT. Él es un graduado del MIT y tiene la serie más accesible en línea sobre probabilidad que introduce suavemente la teoría de la medida. ¡Maravilloso!

En el ejemplo de la OP, cada muestra aleatoria es una observación de misma variable aleatoria . Entonces, la muestra aleatoria es una observación de una variable aleatoria. La variable aleatoria es una función que asigna el espacio muestral a números reales. $X_i$$X$