¿Por qué es

En esta página central de AP Variables aleatorias vs. Variables algebraicas , el autor, Peter Flanagan-Hyde, hace una distinción entre variables algebraicas y aleatorias.

En parte dice

, pero X + X ≠ 2 $x + x = 2x$$X + X \neq 2X$

- De hecho, es el subtítulo del artículo.

¿Cuál es la diferencia básica entre una variable algebraica y una variable aleatoria?

Entonces, abordemos esta pregunta primero: "¿Cuál es la diferencia básica entre una variable algebraica y una variable aleatoria?"

Una variable aleatoria no es en absoluto una variable algebraica. Formalmente, se define como una función de un espacio de probabilidad Ω a R .$X$$\Omega$$\mathbb R$

OK ... Lo que eso realmente significa es que realizas experimentos aleatorios (por ejemplo, tirar un dado, elegir un humano al azar), y tomas medidas en estos experimentos (por ejemplo, número en la cara superior del dado, altura, sexo, nivel de colesterol del humano ) El conjunto es el conjunto de todos los experimentos posibles. En un experimento particular ω ∈ Ω , se hace una medida X ( ω ) : es por eso que formalmente se trata de una función a partir de Ω a R .$\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$$\mathbb R$

Ahora, en general, nos olvidamos por completo de . Las variables aleatorias se definen en términos de su ley de probabilidad. En el caso de un dado justo, solo dices$\Omega$

• parak=1,...,6(la probabilidad de$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$$k=1,\dots,6$$X$ igual a es 1/6 para k de 1 a 6),$k$$k$

en lugar de

• (el conjunto de tiradas de dados en el que la medida X - cara superior - es k tiene probabilidad 1/6) ...$\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$$X$$k$

Es mas simple. Incluso puede evitar totalmente molestar a los estudiantes con .$\Omega$

Espero que esto arroje algún tipo de luz.

Ahora, lo que este chico quiere decir con no es que la suma de tal medida consigo misma no sea el doble de esta medida; desafortunadamente, es lo que escribe. Lo que quiere decir es que la suma de dos medidas de este tipo, realizadas en diferentes experimentos, no tiene la misma ley que el doble de una medida. Esto podría escribirse como X 1 ∼ X 2 ⇏ X 1 + X 2 ∼ 2 X 1 (el hecho de que X 1 y X 2 tengan la misma distribución no implica que X 1$X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$ tiene la misma distribución que 2 X 1 ).$X_1 + X_2$$2 X_1$

[Una versión anterior de la pregunta pedía una respuesta que evitara por completo las matemáticas; esta respuesta fue un intento de dar una motivación intuitiva, a un nivel similar al documento sobre el que se pregunta].

La página vinculada está mal cuando dice que .$X+X\neq 2X$

En el ejemplo es una variable aleatoria que representa el número que se muestra en la cara de un dado: el resultado de un experimento como "tirar un dado de seis lados una vez y registrar el número en la cara del dado".$X$

Entonces lanzas un dado y escribes lo que viste. Cualquier número que registraría es ... entonces X $X$ representa el resultado agregado a sí mismo. Si tira otro dado, ese número que habría escrito antes no cambia.$X+X$

Más adelante en la página dice:

Sin embargo, cuando se lanzan dos dados, los resultados son diferentes. Llame a la variable aleatoria que representa los resultados del proceso de dos dados (para "dos"). Podríamos escribir T = X + X . Esta ecuación representa el hecho de que T es el resultado de dos instancias independientes de la variable aleatoria $T$$T = X + X$$T$$T$

El final de esa cita es presumiblemente un error tipográfico, significan no T allí (ya que si fuera T , simplemente dijeron $X$$T$$T$$T$ era el resultado de dos instancias de sí mismo). Pero con ese reemplazo sigue siendo incorrecto.

Si tienes dos instancias independientes del experimento (tira un dado, registra el número que se muestra) con el que estás lidiando dos variables aleatorias diferentes .

Entonces imagina que tengo un dado rojo y un dado azul. Entonces puedo decir "Deje que el resultado en el dado rojo sea y el resultado en el dado azul sea X 2 ". Entonces podemos seguir el ejemplo en esa página vinculada definiendo T como la suma de los números que se muestran en esos dos dados, entonces T = X 1 + X 2 . Si los dados y el proceso de lanzamiento de dados son justos, entonces la distribución de X 1 y X 2 es la misma, pero X 1 y X $X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$ , las variables aleatorias, son distintas.

[Hay una excelente discusión por whuber de variables aleatorias (y sumas de ellas) aquí , y el concepto de variables aleatorias se cubre con un poco más de detalle (si en lugares más técnicos) aquí . Le recomiendo al menos leer la respuesta en el primer enlace.]

Este problema se debe a que el autor ha confundido la variable aleatoria con su distribución. Se puede ver que aquí:

En este caso, los estudiantes piensan que la variable aleatoria X representa un valor único y desconocido, de la misma manera que piensan sobre las variables algebraicas. Pero X realmente se refiere a la distribución de valores posibles y las probabilidades asociadas.

Él explícitamente combina la variable aleatoria con su distribución.

De hecho, las variables aleatorias son, en muchos sentidos, como otras variables algebraicas y, a menudo, pueden manipularse de la misma manera. En particular, una sola variable aleatoria univariada no representa dos cantidades distintas (como el resultado de dos tiradas diferentes) al mismo tiempo. realmente es 2 X .$X+X$$2X$

La página a la que se vinculó es totalmente incorrecta. Escribe a pesar de que afirma que está tirando dos dados independientes por separado. Esto significa que debe escribir T = X + Y donde X e Y son los resultados de los dos dados.$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

Llamando tanto está mal de plano, ya que la variable aleatoria X tiene que ser la realización de la observación o n e dados lanzan, no dos o más.$X$$X$$one$

Para una variable aleatoria es cierto que $X+X=2X$