Intuición detrás de la distribución de la ley de poder

Sé que el pdf de una distribución de la ley de potencia es

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$$

Pero, ¿qué significa intuitivamente si, por ejemplo, los precios de las acciones siguen una distribución de la ley de poder? ¿Significa esto que las pérdidas pueden ser muy altas pero poco frecuentes?

Esta es una distribución de cola pesada, ya que el cdf es Entonces, la probabilidad de exceder , (x / x_ \ min) ^ {1- \ alpha} puede hacerse arbitrariamente cerca de 1 mediante la elección correcta de \ alpha . Por ejemplo, si se quiere que la probabilidad exceda 10 ^ u x_ \ min sea ​​al menos 0.9 , se debe elegir \ alpha para que sea como máximo 1- \ log_ {10} (0.9) / u una curva representada a continuación, con la primer eje siendo escalado por u , no por 10 ^ u x_ \ min ... x(x/xmin)1-α1α10uxmin0.9α1-log10(0.9)/uu10ux

$$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$$ $x$$(x/x_\min)^{1-\alpha}$$1$$\alpha$$10^u x_\min$$0.9$$\alpha$ $$1-\log_{10}(0.9)/u$$ $u$$10^u x_\min$

No es una fuente revisada por pares, pero me gusta esta nota del profesor de estadísticas de CMU , Cosma Shalizi . También es autor de este artículo , sobre la estimación de tales cosas a partir de los datos.

El documento Power Laws in Economics and Finance puede ayudar a ganar intuición sobre las leyes de poder. Xavier Gabaix afirma que la ley de poder (PL) es la forma adoptada por un gran número de sorprendentes regularidades empíricas en economía y finanzas. Su revisión analiza PLs empíricos bien documentados con respecto a los ingresos y la riqueza, el tamaño de las ciudades y empresas, los rendimientos del mercado de valores, el volumen de negociación, el comercio internacional y el pago ejecutivo.

Intuición para la distribución de Pareto

Pareto (wikipedia) describió originalmente la asignación de riqueza entre los individuos: una gran parte de la riqueza de cualquier sociedad es propiedad de un pequeño porcentaje de personas. Su idea expresada más simplemente como el principio de Pareto o la "regla 80-20" dice que el 20% de la población controla el 80% de la riqueza.

La cola derecha de las distribuciones de ingresos y riqueza a menudo se parece a Pareto

Si la distribución del ingreso es Pareto, entonces se pueden obtener expresiones simples para la parte del 1% superior o el 10% superior. Entonces, la parte del percentil q superior del ingreso total se puede derivar como:

$$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$$

donde es el parámetro de forma. Esta expresión implica que un α más bajo corresponde a una cola más gruesa de la distribución de Pareto y, por lo tanto, a una mayor proporción del ingreso total que capturan los individuos en percentiles más altos de la distribución. Por ejemplo, con , la parte superior del 1% es del 10%, y con , es del 4%.$\alpha \geq 1$$\alpha$α = $\alpha=2$$\alpha=3$

$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$$Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$$X$

$Y$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

De esta caracterización del peligro podemos ver que para cualquier valor pequeño de . Observe que esta probabilidad no depende del valor de condicionamiento , que es el resultado de la propiedad de riesgo constante. Por lo tanto, para cualquier valor de condicionamiento , y cualquier valor pequeño , tenemos:$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$$\ln \delta$$x$$x, x' > x_\min$$\ln \delta$

$$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$$

Por lo tanto, vemos que la ley de poder puede caracterizarse por el hecho de que esta probabilidad condicional es aproximadamente la misma independientemente del punto de condicionamiento. En el contexto de los precios de las acciones, si estos siguen una ley de poder, entonces podemos decir que la probabilidad de que las acciones "suban" en alguna proporción no depende de su valor presente .$^\dagger$

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$^\dagger$ Aquí usamos "subida" libremente, ya que estamos hablando de una sola variable aleatoria, y no hemos modelado una serie temporal de precios de acciones. Dentro de nuestro contexto actual, nos referimos a la probabilidad de un "aumento" en el precio de las acciones en el sentido de una probabilidad condicional de que el precio esté dentro de un intervalo por encima de un límite inferior, condicional a este límite inferior.