Estimador imparcial del parámetro de Poisson

El número de accidentes por día es una variable aleatoria de Poisson con el parámetro , en 10 días elegidos al azar, el número de accidentes se observó como 1,0,1,1,2,0,2,0,0,1, lo que ser un estimador imparcial de ?e $\lambda$$e^{\lambda}$

Traté de intentarlo de esta manera: sabemos que , pero . Entonces, ¿cuál será el estimador imparcial requerido?E(e ˉ x )≠e$E(\bar{x})=\lambda=0.8$$E(e^{\bar{x}})\neq\ e^{\lambda}$

Si $X\sim \text{Pois}(\lambda)$ , entonces $P(X = k) = \lambda^ke^{-\lambda}/k!$, para $k\geq 0$ . Es dificil de calcular

pero es mucho más fácil calcular E [ X n _ ] , donde X n _ = X ( X - 1 ) ⋯ ( X - n + 1 ) : E [ X n _ ] = λ n

$$E[X^n] = \sum_{k\geq 0} k^n P(X = k)\text{,}$$ $E[X^{\underline{n}}]$$X^{\underline{n}} = X(X - 1)\cdots (X - n + 1)$ $$E[X^\underline{n}]=\lambda^n\text{.}$$ Puede probar esto usted mismo: es un ejercicio fácil. Además, te dejaré probar por ti mismo lo siguiente: Si son iid como Pois ( λ ) , entonces U = ∑ i X i ∼ Pois ( N λ ) , por lo tanto E [ U n _ ] = ( N λ ) n = N n λ $X_1,\cdots, X_N$$\text{Pois}(\lambda)$$U = \sum_i X_i\sim \text{Pois}(N\lambda)$ Sea Z n = U n _ / N n . Resulta que $$E[U^{\underline{n}}] = (N\lambda)^n = N^n \lambda^n\quad\text{and}\quad E[U^\underline{n}/N^n] = \lambda^n\text{.}$$ $Z_n = U^{\underline{n}}/N^n$

• 's son funciones de sus medidas X 1 , ... , X $Z_n$$X_1$$\dots$$X_N$
• ,$E[Z_n] = \lambda^n$

¡Ya que , podemos deducir que$e^\lambda = \sum_{n\geq 0}\lambda^n /n!$

tanto, su estimador imparcial esW=∑n≥0Zn/n! , es decir,E[W]=eλ. Sin embargo, para calcularW, se debe evaluar una suma que parece ser infinita, pero tenga en cuenta queT∈N0, por lo tanto,Un_=0paran>T. Se deduce queZn=0para

$$E\left[\sum_{n\geq 0}\frac{Z_n}{n!}\right] =\sum_{n\geq 0} \frac{\lambda^n}{n!} = e^\lambda\text{,}$$ $W = \sum_{n\geq 0} Z_n/n!$$E[W] = e^\lambda$$W$$U\in \mathbb{N}_0$$U^\underline{n} = 0$$n>U$$Z_n = 0$ , por lo tanto, la suma es finita.$n>U$

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Podemos ver que al usar este método, puede encontrar el estimador imparcial para cualquier función de que pueda expresarse como f ( λ ) = ∑ n ≥ 0 a n λ n .$\lambda$$f(\lambda) = \sum_{n\geq 0}a_n\lambda^n$

$Y=\sum_{i=1}^{10} X_i \sim \text{Pois}(10\lambda)$$\theta=e^\lambda$

$$\begin{equation} \hat\theta = e^{\bar X} = e^{Y/10}. \end{equation}$$ $Y$ $$\begin{equation} M_Y(t)=e^{10\lambda(e^t - 1)}, \end{equation}$$ $$\begin{equation} E(\hat\theta) = E(e^{\frac1{10}Y}) = M_Y(\frac1{10}) = e^{10\lambda(e^{1/10} - 1)} = \theta^{10(e^{1/10}-1)}, \end{equation}$$ $\hat\theta$ $$\begin{equation} \theta^* = e^{aY}, \end{equation}$$ $a$$Y$ $$\begin{equation} E(\theta^*) = e^{10\lambda(e^a - 1)} = \theta^{10(e^a-1)}, \end{equation}$$ $10(e^a - 1) = 1$$a=\ln\frac{11}{10}$$\theta^* = (\frac{11}{10})^Y$$\theta=e^\lambda$

$Y$$\lambda$$\theta^*$$Y$$e^\lambda$