¿Hay otra interpretación para una distribución Gamma con un parámetro de forma no entero?

Es bien sabido que una variable aleatoria que se distribuye Gamma con el parámetro de forma de entero es equivalente a la suma de los cuadrados de variables aleatorias normalmente distribuidas.$k$$k$

Pero, ¿qué puedo decir sobre una variable aleatoria distribuida gamma con no entero ? ¿Hay alguna otra interpretación que no sea la distribución Gamma?$k$

Si e son independientes, entonces En particular, si , se distribuye con la misma distribución que para cualquier . (Esta propiedad se llama divisibilidad infinita ). Esto significa que, si cuando no es un entero, tiene la misma distribución que con independiente de y Y ∼ G ( β , 1 ) X + Y ∼ G ( α + β , 1 ) X ∼ G ( α , 1 $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ $n\in\mathbb N$$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha$$X$$Y+Z$$Z$$Y$ $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ También implica que el valor entero forma no tienen un significado particular para Gammas.$\alpha$

Por el contrario, si con , tiene la misma distribución que cuando es independiente de y Y, por lo tanto, la distribución es invariante enα < 1 Y U $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$$\alpha<1$ YU∼U(0,1)Y∼G(α+1,1)G(α,1$YU^{1/\alpha}$$Y$$U\sim{\cal U}(0,1)$

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ ${\cal G}(\alpha,1)$ $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$