Estadísticas de independencia y orden

Tengo un problema en la mano, que no puedo continuar. ¿Alguien puede ayudarme a comenzar?

$Y_1<Y_2<Y_3$ : una estadística de orden de tamaño 3 de la distribución que tiene pdf Además, defina La tarea es calcular el pdf conjunto de .

$$f(x)=2x\ \ \ 0<x<1$$ $$U_1={Y_1\over Y_2} \ \ \text{and }\ \ \ U_2={Y_2\over Y_3}$$ $U_1\ \&\ U_2$

Mi trabajo: he descubierto el marginal de .$U_1\ \&\ U_2$

$$P(U_1\le u_1)=\int_0^1\int_0^{u_1y_2}f_{Y_1,Y_2}(y_1,y_2)dy_1dy_2$$ $$P(U_2\le u_2)=\int_0^1\int_0^{u_2y_3}f_{Y_2,Y_3}(y_2,y_3)dy_2dy_3$$ ¿Qué paso debo hacer a continuación?

Aquí hay una guía para resolver este problema (y otros similares). Utilizo valores simulados para ilustrar, así que comencemos simulando una gran cantidad de realizaciones independientes de la distribución con densidad . (Todo el código en esta respuesta está escrito ).$f$R

n <- 4e4 # Number of trials in the simulation
x <- matrix(pmax(runif(n*3), runif(n*3)), nrow=3)

# Plot the data
par(mfrow=c(1,3))
for (i in 1:3) {
  hist(x[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  curve(f(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Los histogramas muestran realizaciones independientes del primer, segundo y tercer elemento de los conjuntos de datos. El gráfico de curvas rojas . El hecho de que coincidan con los histogramas confirma que la simulación está funcionando según lo previsto.$40,000$$f$

Necesita calcular la densidad conjunta de . $(Y_1, Y_2, Y_3)$Dado que está estudiando estadísticas de pedidos, esto debería ser rutinario, pero el código proporciona algunas pistas, ya que traza sus distribuciones como referencia.

y <- apply(x, 2, sort)

# Plot the order statistics.
f <- function(x) 2*x
ff <- function(x) x^2
for (i in 1:3) {
  hist(y[i, ], freq=FALSE, main=paste("i =", i))
  k <- factorial(3) / (factorial(3-i)*factorial(1)*factorial(i-1))
  curve(k * (1-ff(x))^(3-i) * f(x) * ff(x)^(i-1), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

Los mismos datos se han reordenado dentro de cada uno de los conjuntos de datos. A la izquierda está el histograma de sus mínimos , a la derecha sus máximos , y en el medio sus medianas .$40,000$$Y_1$$Y_3$$Y_2$

Luego, calcule la distribución conjunta de directamente. $(U_1, U_2)$ Por definición esto es

$$F(u_1, u_2) = \Pr(U_1 \le u_1, U_2 \le u_2) = \Pr(Y_1 \le u_1 Y_2, Y_2 \le u_2 Y_3).$$

Como ha calculado la densidad conjunta de , esta es una cuestión rutinaria de hacer la integral (triple) expresada por la probabilidad de la derecha. La región de integración debe ser$(Y_1, Y_2, Y_3)$

$$0 \le Y_1 \le u_1 Y_2,\ 0 \le Y_2 \le u_2 Y_3,\ 0 \le Y_3 \le 1.$$

La simulación nos puede dar una idea de cómo se distribuyen : aquí hay un diagrama de dispersión de los valores realizados de . Su respuesta teórica debe describir esta densidad.$(U_1, U_2)$$(U_1, U_2)$

par(mfrow=c(1,1))
u <- cbind(y[1, ]/y[2, ], y[2, ]/y[3, ])
plot(u, pch=16, cex=1/2, col="#00000008", asp=1)

Como verificación, podemos mirar las distribuciones marginales y compararlas con las soluciones teóricas. Las densidades marginales, mostradas como curvas rojas, se obtienen como y .$\partial F(u_1, 1)/\partial u_1$$\partial F(1, u_2)/\partial u_2$

par(mfrow=c(1,2))
hist(u[, 1], freq=FALSE); curve(2*x, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
hist(u[, 2], freq=FALSE); curve(4*x^3, add=TRUE, col="Red", lwd=2)
par(mfrow=c(1,1))

Es curioso que tenga la misma distribución que el original .$U_1$$X_i$

Aquí hay una solución simbólica exacta que traza los pasos requeridos ... aquí usando herramientas automatizadas para hacer lo esencial.

Deje denotar una muestra de tamaño 3 del pdf padre :$(X_1, X_2, X_3)$$f(x)$

Entonces, el pdf conjunto de la muestra ordenada es decir :$(X_{(1)}, X_{(2)}, X_{(3)})$$g(x_1,x_2,x_3)$

donde estoy usando la OrderStatfunción del paquete mathStatica para Mathematica .

El cdf conjunto de es :$(U_1, U_2)$$P\big(\frac{X_{(1)}}{X_{(2)}}<u_1, \,\frac{X_{(2)}}{X_{(3)}}<u_2\big)$

La pdf conjunta de se deriva simplemente diferenciando la cdf wrt y :$(U_1, U_2)$$u_1$$u_2$

Finalmente, como una verificación rápida de Monte Carlo, aquí hay una comparación de:

• la solución teórica exacta derivada (el pdf conjunto - la superficie naranja)

• trazado contra un empírico conjunto simulado de Monte Carlo pdf (histograma 3D):