Si una matriz de covarianza inversa es escasa, ¿qué puedo decir sobre la matriz de covarianza?

¿Cómo afecta la condición de dispersión en una matriz de covarianza inversa a la matriz de covarianza real?

Como ya comentó Yair, no existe una condición de escasez específica de la matriz de covarianza inversa que afecte a la matriz de covarianza real o viceversa. Cualquier otra cosa que no sean patrones triviales de matriz de dispersión (es decir, diagonal) no garantiza que se reflejarán tanto en una matriz particular como en su inverso. Incluso las matrices tridiagonales pueden tener inversas no dispersas fácilmente.

Para casos particulares donde la escasez de la matriz se produce en bloques, es posible que pueda obtener algunos resultados derivados del algoritmo pseudoinverso de la matriz de bloques que establece que:

$\left[\begin{array}{cc} A & B \\C & D \end{array}\right]^{-1} =\begin{bmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\ -D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}$

pero eso es probablemente sobre eso (puramente anecdótico, he tratado de imponer patrones de dispersión a través de la descomposición de Cholesky de una matriz PSD pero fallé en mi incursión de prueba y error). También es posible que desee considerar investigar el algoritmo de Cuthill-McKee (CM) si espera que alguna característica de adyacencia se refleje en la matriz de covarianza. El algoritmo CM permuta una matriz dispersa que tiene un patrón de dispersión simétrica en una forma de matriz de banda con un ancho de banda pequeño, esto podría ayudar a preservar cierta dispersión hacia las entradas fuera de la diagonal de la matriz inversa, pero eso no está garantizado. (La aplicación de CM, si es razonable, puede ser muy útil para aplicaciones particulares (por ejemplo, en rutinas de suavizado 2D) y puede acelerar significativamente sus cálculos.