Aparte de la familia exponencial, ¿de dónde más pueden venir los conjugados anteriores?

¿ Todos los anteriores conjugados tienen que venir de la familia exponencial? Si no, ¿qué otras familias se sabe que tienen / producen antecedentes conjugados?

Como se explica, por ejemplo, en la Sección 3.3.3 del libro "La elección bayesiana" de Christian Robert, de hecho existe una estrecha conexión entre familias exponenciales y anteriores conjugados, pero existen anteriores conjugados disponibles para ciertas familias no exponenciales. Sin embargo, los llama "cuasi-exponenciales" porque son familias para las que existen suficientes estadísticas de dimensión finita que no aumentan con el tamaño de la muestra.

Aquí hay un ejemplo para la distribución uniforme, cuyo soporte depende del parámetro de la distribución y, por lo tanto, no puede ser una familia exponencial (como es bien sabido):

Aquí, la distribución de Pareto es un conjugado previo para el parámetro $b$ de la distribución uniforme en $[0,b]$.

La densidad de la distribución de Pareto con parámetros. $c>0$ y $% \alpha >0$ es

$$\begin{equation*} f(x)=\alpha c^{\alpha }x^{-\alpha -1} \end{equation*}$$ para $x\geq c$ y $f(x)=0$ más.

El previo del parámetro $b$ de una distribución uniforme en $[0,b]$ es una distribución de Pareto con $c_{0}$ y $\alpha _{0}$,

$$\begin{eqnarray*} \pi (b) &=& \left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if } b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array} \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*}$$ La probabilidad de los datos. $y_{1},\ldots ,y_{n}$, dado $b$, es $$\begin{equation*} f\left( y |b\right) = \left\{ \begin{array}{ll} \prod_{i=1}^{n}\frac{1}{b }=b ^{-n} & \quad \text{if }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{equation*}$$ El producto de probabilidad y anterior es el posterior no normalizado. $$\begin{eqnarray*} \pi \left( b |y\right) &\propto &\pi (b )f\left( y |b\right) \\ &=&\left\{ \begin{array}{ll} \alpha _{0}c_{0}^{\alpha _{0}}b ^{-\alpha _{0}-1}b ^{-n} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{0}-n-1} & \quad \text{if }b \geq c_{0}\text{ and }% 0\leq y_{i}\leq b \text{ for all }i=1,\ldots ,n \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \\ &\propto &\left\{ \begin{array}{ll} b ^{-\alpha _{1}-1} & \quad \text{if }b \geq c_{1} \\ 0 & \quad \text{else.}% \end{array}% \right. \end{eqnarray*}$$ con $$\begin{eqnarray*} \alpha _{1} &=&\alpha _{0}+n \\ c_{1} &=&\max\bigl(\max_{i}y_{i},c_0\bigr). \end{eqnarray*}$$ Por lo tanto, el posterior es distribuido por Pareto.