¿Cuál es el momento de una variable aleatoria conjunta?

Pregunta simple, pero sorprendentemente difícil de encontrar una respuesta en línea.

Sé que para un RV , definimos el momento k como donde la igualdad se sigue si , para una densidad y Medida de Lebesgue .$X$

$$\int X^k \ d P = \int x^k f(x) \ dx$$ $p = f \cdot m$$f$$m$

Entonces, ¿cuál es el késimo momento de, digamos, ? realmente no me parece la respuesta ...$(X,Y)$$\int (X,Y) \ d P$

No hay una "la" con respecto a los momentos, ya que hay muchos de ellos, pero los momentos de variables bivariadas están indexados por dos índices, no por uno.

Entonces, en lugar de -th momento, tienes -th momentos, (a veces escrito cuando eso no es ambiguo). Podríamos hablar de , el momento o , el momento , o , y así sucesivamente.$k$$\mu_k$$(j,k)$$\mu_{j,k}$$\mu_{jk}$$\mu_{1,1}$$(1,1)$$\mu_{1,2}$$(1,2)$$\mu_{2,2}$

Estos a veces se llaman momentos mixtos.

Entonces, generalizando su ejemplo continuo unidimensional,

$\mu_{j,k} = \int\int x^j y^k f(x,y) \, dx dy$

Esto se generaliza a dimensiones superiores.

Como @ Glen_b ♦ ha mencionado, momento generalizado a momento cruzado (relacione conceptos: función generadora de momento conjunto , función característica conjunta y acumulante ) en dimensiones superiores.

Dicho esto, para mí esta definición no parece un equivalente al momento univariante, porque el momento cruzado se evalúa como un número real, pero para, por ejemplo, un vector normal multivariado, la media es un vector y la varianza es una matriz . I especular que uno podría definir "momentos" de dimensiones superiores utilizando derivados de la función característica conjunta , aquí las derivadas se generalizan usando tensores de rango (por lo que la derivada de segundo orden sería una matriz de Hesse).$\varphi_\mathbf{X}(\mathbf{t})=E[e^{i\mathbf{t}'\mathbf{X}}]$$k$

Hay muchos otros temas relacionados interesantes, tales como: Medidas de sesgo multivariado y curtosis con aplicaciones .