Topologías para las cuales el conjunto de distribuciones de probabilidad está completo

He estado luchando bastante para conciliar mi comprensión intuitiva de las distribuciones de probabilidad con las propiedades extrañas que poseen casi todas las topologías en las distribuciones de probabilidad.

Por ejemplo, considere una variable aleatoria de mezcla : elija un gaussiano centrado en 0 con varianza 1 y con probabilidad $X_n$ , agreguenal resultado. Una secuencia de tales variables aleatorias convergería (débilmente y en variación total) a un Gaussiano centrado en 0 con varianza 1, pero la media de laX$\frac{1}{n}$$n$$X_n$ siempre es y las varianzas convergen en + ∞ . Realmente no me gusta decir que esta secuencia converge por eso.$1$$+\infty$

Me tomó bastante tiempo recordar todo lo que había olvidado sobre las topologías, pero finalmente descubrí lo que me resultaba tan insatisfactorio sobre tales ejemplos: el límite de la secuencia no es una distribución convencional. En el ejemplo anterior, el límite es un extraño "gaussiano de media 1 y de varianza infinita". En términos topológicos, el conjunto de distribuciones de probabilidad no está completo bajo los débiles (y TV, y todas las demás topologías que he visto).

Entonces me enfrento a la siguiente pregunta:

• ¿Existe una topología tal que el conjunto de distribuciones de probabilidad esté completo?

• Si no, ¿esa ausencia refleja una propiedad interesante del conjunto de distribuciones de probabilidad? ¿O es simplemente aburrido?

Nota: He formulado mi pregunta sobre "distribuciones de probabilidad". Estos no se pueden cerrar porque pueden converger a Diracs y cosas así que no tienen un pdf. Pero las medidas aún no están cerradas bajo la topología débil, por lo que mi pregunta sigue siendo

cruzado a mathoverflow /mathpro/226339/topologies-for-which-the-ensemble-of-probability-measures-is-complete?noredirect=1#comment558738_226339

Mirando la pregunta desde un ángulo estadístico más estrecho (el tema topológico matemático general es válido), el hecho de que la secuencia de momentos puede no converger a los momentos de la distribución limitante es un fenómeno bien conocido. Esto, en principio, no pone en duda automáticamente la existencia de una distribución limitante de la secuencia que se comporte bien.

$\{X_n + n Bern(1/n)\}$$N(0,1)$