¿Por qué no puedo calcular 1.5 desviaciones estándar usando matemáticas básicas?

No entiendo por qué no puedo simplemente agregar 1.5 desviaciones estándar para obtener la respuesta.

Si 1 desviación estándar es 10 kg y la media es 400 kg, entonces 415 kg es 1,5 desviaciones estándar.

Entonces lo calculé así: .3413 + ((.4772-.3413)/2) = 0.40925

Esta ecuación toma la mitad de la diferencia entre dos desviaciones estándar y una desviación estándar, luego la agrega a la primera desviación estándar.

¿Por qué esto no funciona? ¿Por qué tengo que usar la tabla provista?

La razón por la que no podemos interpolar (linealmente) entre 0.3413 y 0.4772 es porque el pdf de la distribución Normal no es uniforme (plano en un solo valor).

Considere este ejemplo más simple, donde podemos usar geometría para encontrar las áreas.

El área total de la trama es 1(es un corte cuadrado en diagonal, con las dos piezas reorganizadas para ser un triángulo). Usando Base*Height/2podemos encontrar que el área de la región A es 0.5, y el área total de las regiones B y C también lo es 0.5.

Pero las áreas de B y C no son iguales. El área de la región C es 0.5*0.5/2 = 0.125y, por lo tanto, el área de la región B es 0.375. Entonces, aunque las regiones B y C son igualmente anchas a lo largo del eje x, dado que la altura no es constante, tienen áreas diferentes.

La distribución normal con la que está tratando en su ejercicio es similar, pero con una función más complicada para la altura en lugar de un triángulo simple. Debido a esto, el área entre dos valores no se puede resolver de manera simple, de ahí el uso de puntajes Z y una tabla para encontrar probabilidades.

Solo para proporcionar una ilustración diferente sobre el mismo tema ...

En su cálculo inicial, trataría la curva normal como una distribución uniforme, en cuyo caso su enfoque inicial sería el cálculo matemático correcto para el rectángulo de doble trama en el gráfico a continuación (con diferentes valores reales), simplemente porque estaría capaz de expresar el área como una dependencia lineal simple de la distancia del eje :$x$

$A_{1.5\,SD} =\large\frac{A_{2\,SD} - A_{1\,SD}}{2} = \small height * \large\frac{X_{2\,SD} - X_{1\,SD}}{2}$

Pero desea calcular el área sombreada diagonalmente debajo de la curva de la distribución gaussiana, que como se indicó anteriormente no mantendría una relación lineal con la distancia a lo largo del eje incluso si la distribución fuera triangular:$x$

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La fórmula para la distribución gaussiana es:

Donde sigma = desviación estándar y mu = media

(robado de wikipedia)

Cuando pregunta por el área, está integrando esta función en el rango especificado. Esta integral no tiene una solución de "forma cerrada": no hay forma de encontrar una expresión usando funciones matemáticas "normales" como factorial, multiplicación, exponenciación, raíces, etc., que sea igual a esa integral.

Es como logaritmos o funciones trigonométricas: no puede producir una ecuación de forma cerrada para ellos usando otras funciones algebraicas (puede usar series infinitas, pero eso no es "cerrado"). Por lo tanto, utiliza una tabla (si se siente retro, o una calculadora, que simplemente utiliza una tabla detrás de escena incrustada en su procesador como punto de partida) cuando necesita calcularla realmente.

De hecho, el paralelo con los logaritmos es bastante adecuado: también se puede definir un logaritmo por una integral, es decir, ln (x) = integral de (1 / x) de 0 a x.

Geométricamente, .4772 - .3413representa el área debajo del gráfico entre 1 desviación estándar y 2 desviaciones estándar. Si divide esta región a la mitad horizontalmente, la parte a la izquierda de la división será el área entre 1 y 1.5 desviaciones estándar, como desee. Bien hasta ahora.

Sin embargo, cuando tomas (.4772 - .3413) / 2, obtienes la mitad del área , pero no necesariamente lo que estabas buscando, que es, sin embargo, mucha área estaba a la mitad horizontalmente. Con este gráfico, esa parte izquierda de la división no es la mitad del área : la línea se inclina hacia abajo (va desde la parte superior izquierda a la parte inferior derecha), por lo que hay más espacio en la parte izquierda que en la parte derecha. Si este gráfico fuera una línea horizontal recta, entonces el área que estaba dividiendo sería un rectángulo, y la mitad del área realmente estaría a la mitad.