¿Cómo demostrar que un estimador es consistente?

EDITAR: Se corrigieron errores menores.

Aquí hay una forma de hacerlo:

Un estimador de (llamémoslo ) es consistente si converge en probabilidad a . Usando tu notación $\theta$ $T_n$ $\theta$

$\mathrm{plim}_{n\rightarrow\infty}T_n = \theta$ .

La convergencia en probabilidad, matemáticamente, significa

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)= 0$ para todos . $\epsilon>0$

La forma más fácil de mostrar la convergencia en probabilidad / consistencia es invocar la Desigualdad de Chebyshev, que establece:

$P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

Así,

$P(|T_n - \theta|\geq \epsilon)=P((T_n - \theta)^2\geq \epsilon^2)\leq \frac{E(T_n - \theta)^2}{\epsilon^2}$ .

Entonces, debe mostrar que va a 0 como . $E(T_n - \theta)^2$ $n\rightarrow\infty$

EDIT 2 : lo anterior requiere que el estimador sea al menos asintóticamente imparcial. Como señala G. Jay Kerns, considere el estimador (para estimar la media ). está sesgado tanto para finito como asintóticamente, y como . Sin embargo, no es un estimador consistente de . $T_n = \bar{X}_n+3$ $\mu$ $T_n$ $n$ $\mathrm{Var}(T_n)=\mathrm{Var}(\bar{X}_n)\rightarrow 0$ $n\rightarrow \infty$ $T_n$ $\mu$

EDITAR 3 : Ver los puntos del cardenal en los comentarios a continuación.

fuente

@ G.JayKerns La imparcialidad es innecesaria para esto. Considere . es un estimador sesgado de la desviación estándar, pero puede usar el argumento anterior para mostrar que es consistente.

S_{n} = \sqrt{\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X_{n}})^{2}}

$S_n = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X_n})^2}$

S_{n}

$S_n$

Se ve bien (+1); y borraré mis comentarios anteriores.

@ G.JayKerns Sus comentarios fueron una adición necesaria. Siempre debemos asegurarnos de conocer los supuestos bajo los cuales estamos trabajando.

@MikeWierzbicki: Creo que debemos ser muy cuidadosos, en particular con lo que queremos decir con asintóticamente imparcial . Hay al menos dos conceptos diferentes que a menudo reciben este nombre y es importante distinguirlos. Tenga en cuenta que, en general, no es cierto que un estimador consistente sea asintóticamente imparcial en el sentido de que incluso cuando la media existe para todo . Mucha gente llama a la convergencia imparcialidad en el límite o imparcialidad aproximada ... (cont.)

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

n

$n$

E T_{n} \to θ

$\mathbb E T_n \to \theta$

cardenal

Obviamente, para que un estimador consistente esté sesgado en el límite, la convergencia en debe fallar ya que donde .

L_{2}

$L_2$

E (T_{n} - θ)^{2} = V a r (T_{n}) + (θ_{n} - θ)^{2}

$\mathbb E(T_n - \theta)^2 = \mathrm{Var}(T_n) + (\theta_n - \theta)^2$

θ_{n} = E T_{n}

$\theta_n = \mathbb E T_n$

cardenal

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