¿Qué es tan 'momento' sobre 'momentos' de una distribución de probabilidad?

Sé cuáles son los momentos y cómo calcularlos y cómo usar la función de generación de momentos para obtener momentos de orden superior. Sí, sé las matemáticas.

Ahora que necesito obtener mi conocimiento estadístico lubricado para el trabajo, pensé que bien podría hacer esta pregunta: me ha estado molestando durante unos años y de regreso a la universidad, ningún profesor sabía la respuesta o simplemente rechazaría la pregunta (honestamente) .

Entonces, ¿qué significa la palabra "momento" en este caso? ¿Por qué esta elección de palabra? No me parece intuitivo (o nunca lo escuché así en la universidad :) Ahora que lo pienso, tengo la misma curiosidad con su uso en el "momento de inercia";) pero no nos centremos en eso por ahora.

Entonces, ¿qué significa un "momento" de una distribución y qué busca hacer y por qué ESA palabra! :) ¿Por qué a alguien le importan los momentos? En este momento siento lo contrario sobre ese momento;)

PD: Sí, probablemente he hecho una pregunta similar sobre la varianza, pero valoro la comprensión intuitiva sobre 'buscar en el libro para averiguarlo' :)

Según el documento "Primera aparición (?) De términos comunes en estadística matemática" por HA David, el primer uso de la palabra "momento" en esta situación fue en una carta de 1893 a la Naturaleza de Karl Pearson titulada "Curvas de frecuencia asimétrica" .

El artículo de Biometrika de 1938 de Neyman "Una nota histórica sobre la deducción de los momentos del binomio de Karl Pearson" ofrece una buena sinopsis de la carta y el trabajo posterior de Pearson sobre los momentos de la distribución binomial y el método de los momentos. Es una muy buena lectura. Espero que tenga acceso a JSTOR porque no tengo tiempo para dar un buen resumen del documento (aunque lo haré este fin de semana). Aunque mencionaré una pieza que puede dar una idea de por qué se utilizó el término "momento". Del artículo de Neyman:

[La memoria de Pearson] trata principalmente de métodos de aproximación de curvas de frecuencia continua por medio de algunos procesos que implican el cálculo de fórmulas fáciles. Una de estas fórmulas consideradas fue el "binomio de punto" o el "binomio con ordenadas cargadas". La fórmula
difiere de lo que hoy llamamos binomio, a saber. (4), solo por un factor , que representa el área bajo la curva continua que se desea ajustar.$\alpha$

Esto es lo que finalmente condujo al 'método de los momentos'. Neyman repasa la derivación de Pearson de los momentos binomiales en el documento anterior.

Y de la carta de Pearson:

Ahora procederemos a encontrar los primeros cuatro momentos del sistema de rectángulos alrededor de GN. Si la inercia de cada rectángulo pudiera considerarse concentrada a lo largo de su vertical media, deberíamos tener para el momento alrededor de NG, escribiendo . d = c ( 1 + n q $s^{\text{th}}$$d = c(1 + nq)$

Esto sugiere el hecho de que Pearson usó el término "momento" como una alusión al "momento de inercia", un término común en la física.

Aquí hay un escaneo de la mayoría de las cartas de Pearson Nature :

Puede ver el artículo completo en la página 615 aquí .

Todos tienen su momento en momentos. Tenía el mío en Cumulant y nombres de momentos más allá de la varianza, asimetría y curtosis , y pasé algún tiempo leyendo este hilo gorgioso.

Curiosamente, no encontré la "mención de momento" en el artículo de HA David. Así que fui a Karl Pearson: La vida científica en una era estadística , un libro de TM Porter y Karl Pearson y los orígenes de las estadísticas modernas: un elástico se convierte en estadístico , por ejemplo, editó Una historia de la teoría de la elasticidad y de la resistencia de los materiales desde Galilei hasta la actualidad .

Su experiencia era muy amplia, y era notablemente un profesor de ingeniería y elástico, que estaba involucrado en determinar los momentos de flexión de un tramo de puente y calcular el estrés en las presas de mampostería. En elasticidad, uno solo observa lo que está sucediendo (ruptura) de manera limitada. Aparentemente estaba interesado en (del libro de Porter):

cálculo gráfico o, en su forma más digna y matemática, estática gráfica.

Más tarde :

Desde el comienzo de su carrera estadística, e incluso antes de eso, ajustó las curvas utilizando el "método de los momentos". En mecánica, esto significaba hacer coincidir un cuerpo complicado con uno simple o abstracto que tuviera el mismo centro de masa y "radio de giro", respectivamente, el primer y el segundo momento. Estas cantidades corresponden en estadística a la media y a la dispersión o dispersión de las mediciones alrededor de la media.

Y desde:

Pearson trató en intervalos de medición discretos, esto fue una suma en lugar de una integral

Los momentos de inercia pueden representar un resumen de un cuerpo en movimiento: los cálculos se pueden llevar a cabo como si el cuerpo se redujera a un solo punto.

Pearson estableció estas cinco igualdades como un sistema de ecuaciones, que se combinaron en uno de noveno grado. Una solución numérica solo fue posible mediante aproximaciones sucesivas. Podría haber hasta nueve soluciones reales, aunque en el presente caso solo había dos. Graficaba ambos resultados junto con el original, y en general estaba satisfecho con la apariencia del resultado. Sin embargo, no confió en la inspección visual para decidir entre ellos, sino que calculó el sexto momento para decidir el mejor partido.

Volvamos a la física. Un momento es una cantidad física que tiene en cuenta la disposición local de una propiedad física, generalmente con respecto a un determinado punto o eje ordinal (clásicamente en el espacio o el tiempo). Resume las cantidades físicas medidas a cierta distancia de una referencia. Si la cantidad no se concentra en un solo punto, el momento se "promedia" en todo el espacio, por medio de integrales o sumas.

Aparentemente, el concepto de momentos se remonta al descubrimiento del principio operativo de la palanca "descubierta" por Arquímedes. Una de las primeras ocurrencias conocidas es la palabra latina "momentorum" con el sentido actual aceptado (momento sobre un centro de rotación). En 1565, Federico Commandino tradujo el trabajo de Arquímedes (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) como:

El centro de gravedad de cada figura sólida es ese punto dentro de él, sobre el cual se ubican en todos los lados partes del mismo momento.

o

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud intra positum, circa quod undique partes aequalium momentorum

Entonces, aparentemente, la analogía con la física es bastante fuerte: a partir de una forma física discreta complicada, encuentre cantidades que se aproximen lo suficiente, una forma de compresión o parsimonia.

Siendo demasiado simplista, los momentos estadísticos son descriptores adicionales de una curva / distribución. Estamos familiarizados con los primeros dos momentos y estos son generalmente útiles para distribuciones normales continuas o curvas similares. Sin embargo, estos dos primeros momentos pierden su valor informativo para otras distribuciones. Por lo tanto, otros momentos proporcionan información adicional sobre la forma / forma de la distribución.

Pregunta: Entonces, ¿qué significa la palabra "momento" en este caso? ¿Por qué esta elección de palabra? No me parece intuitivo (o nunca lo escuché así en la universidad :) Ahora que lo pienso, tengo la misma curiosidad con su uso en el "momento de inercia";) pero no nos centremos en eso por ahora.

Respuesta: En realidad, en un sentido histórico, el momento de inercia es probablemente de donde proviene el sentido de la palabra momentos. De hecho, uno puede (como a continuación) mostrar cómo el momento de inercia se relaciona con la varianza. Esto también produce una interpretación física de los momentos superiores.

En física, un momento es una expresión que involucra el producto de una distancia y una cantidad física, y de esta manera explica cómo se ubica u organiza la cantidad física. Los momentos generalmente se definen con respecto a un punto de referencia fijo; tratan con cantidades físicas medidas a cierta distancia de ese punto de referencia. Por ejemplo, el momento de fuerza que actúa sobre un objeto, a menudo llamado torque, es el producto de la fuerza y ​​la distancia desde un punto de referencia, como en el siguiente ejemplo.

Menos confusos que los nombres usualmente dados , por ejemplo, hiperplanitud, etc. para momentos más altos serían momentos de movimiento circular, por ejemplo, momentos de inercia para movimiento circular , de cuerpos rígidos, que es una conversión simple. La aceleración angular es la derivada de la velocidad angular, que es la derivada del ángulo con respecto al tiempo, es decir, . Considere que el segundo momento es análogo al par aplicado a un movimiento circular, o si va a realizar una aceleración / desaceleración (también segunda derivada) de esa circular (es decir, angular,$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$) movimiento. De manera similar, el tercer momento sería una tasa de cambio de torque, y así sucesivamente durante momentos aún más altos para hacer tasas de cambio de tasas de cambio de tasas de cambio, es decir, derivadas secuenciales de movimiento circular. Quizás sea más fácil visualizar esto con ejemplos reales.

Existen límites para la plausibilidad física, por ejemplo, donde un objeto comienza y termina, es decir, su soporte, lo que hace que la comparación sea más o menos realista. Tomemos el ejemplo de una distribución beta, que tiene soporte (finito) en [0,1] y muestremos la correspondencia para eso. La función de densidad de distribución beta ( pdf ) es donde y es la función gamma , .

$$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(.)$$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

La media es entonces el primer momento de rotación alrededor del eje para la función beta trazada como una lámina delgada de rotación rígida de densidad de área uniforme con el valor mínimo fijado al origen (0,0,0), con su base en el plano . como se ilustra para , es decir, , a continuación $z$$x$$x,y$

$$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$\mu=\dfrac{1}{2}$

Tenga en cuenta que no hay nada que nos impida mover la hoja delgada de distribución beta a otra ubicación y volver a escalarla, por ejemplo, de a , o cambiar la forma vertical, por ejemplo, para que sea una pala en lugar de una joroba.$0\leq r\leq1$$2\leq r\leq4$

Para calcular la varianza de la distribución beta, calcularíamos el momento de inercia para una distribución beta desplazada con la media del valor colocada en el eje de rotación, que para , es decir, , donde es el momento de inercia, se ve así,$r$$z$β ( r ; 2 , 2 ) I = σ 2 =

$$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$$I$

Ahora para los llamados momentos 'centrales' más altos , es decir, momentos sobre la media, como la asimetría y la curtosis, calculamos el momento alrededor de la media desde Esto también puede entenderse como la derivada del movimiento circular.∫ 1 0 ( r - μ ) n β ( r ; α , β $n^{\text{th}}$n

$$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ $n^{\text{th}}$

¿Qué sucede si queremos calcular al revés, es decir, tomar un objeto sólido 3D y convertirlo en una función de probabilidad? Las cosas se ponen un poco más complicadas. Por ejemplo, tomemos un toro .

Primero tomamos su sección transversal circular, luego la convertimos en media elipse para mostrar la densidad de cualquier moneda plana como rebanada, luego convertimos la moneda en una moneda en forma de cuña para tener en cuenta la densidad creciente con la distancia creciente ( ) del eje , y finalmente normalizamos para que el área realice una función de densidad. Esto se describe gráficamente a continuación con las matemáticas que quedan para el lector.$r$$z$

Finalmente, preguntamos cómo se relacionan estas equivalencias con el movimiento. Tenga en cuenta que, como arriba del momento de inercia, , puede relacionarse con el segundo momento central, , AKA, la varianza. Entonces , es decir, la relación del par, y la aceleración angular, . Luego nos diferenciaríamos para obtener tasas de cambio de orden más altas en el tiempo.σ 2 I = $I$$\sigma^2$ τ$I=\dfrac{\tau}{a}$$\tau$$a$