¿Cómo calcular la probabilidad del resultado de esta mecánica complicada de lanzamiento de dados?

Esta pregunta se refiere a la probabilidad de éxito en un juego de rol. Sin embargo, la pregunta y sus respuestas no cubren algunas de las complejidades de la mecánica de los dados. En particular, no cubre los fallos (un posible resultado) en absoluto.

Un jugador tiene un grupo de dados, basado en alguna mecánica del juego irrelevante para esta pregunta. Un grupo de dados es un número variable de dados que un jugador puede tirar. Hay reglas sobre cuántos dados puede tirar el jugador, pero eso es irrelevante para esta pregunta. Puede ser cualquier número de dados de 1 (un solo dado) a aproximadamente 15. Estoy llamando esta P .

Los dados tienen 10 lados etiquetados del 1 al 10 inclusive (llamado 'd10' en la terminología de nuestro dominio)

Al tirar dados, hay un número objetivo o número de dificultad. Cómo se genera este número está fuera del alcance de esta pregunta, pero el número puede estar entre 3 y 9 inclusive. Las reglas en torno a esto se explican a continuación. Estoy llamando a esta camiseta .

Cuando se lanzan todos los dados, hay algunas reglas para determinar el resultado:

• Cualquier dado igual o mayor que T se cuenta como un éxito.
• Cualquier dado igual a 1 resta de los éxitos

Tal que ...

• Si, después de la resta (si corresponde), no quedan dados mayores o iguales a T, entonces el resultado es una falla.
• Si, después de la resta (si corresponde), queda al menos un dado mayor o igual a T, entonces el resultado es un éxito.
• Si ningún dado es mayor o igual que T, y al menos un dado es 1, entonces es una falla

Para un grupo P y un objetivo T determinados, ¿cómo calcula la probabilidad de éxito, fracaso o falla en este sistema?

Tendré que abordar esto en etapas según lo permita el tiempo. Espero que alguien dé un enfoque completo (y probablemente más simple) antes de que termine.

Primero, echemos un vistazo a los botches.

Voy a ignorar algo de tu notación y llamar al número de dados .$n$

Si ningún dado es mayor o igual que T, y al menos un dado es 1, entonces es una falla

Primero considere$P(\text{no dice }\geq T) = (\frac{T-1}{10})^n$

Ahora considere$P(\text{no } 1| \text{no dice }\geq T) = (\frac{T-2}{T-1})^n$

Entonces$P(\text{botch}) = [1- (\frac{T-2}{T-1})^n]\cdot (\frac{T-1}{10})^n$

$\hspace{2cm} = \frac{(T-1)^n-(T-2)^n}{10^n}$

(suponiendo que no cometí ningún error)

En segundo lugar, la distribución del número de éxitos de troqueles individuales después de la resta puede abordarse mediante el método en esta publicación . Sin embargo, parece que está después de (es decir, la tirada general tiene éxito), lo que creo que puede ser susceptible de enfoques relativamente más simples (aunque pueden implicar más trabajo en el fin). Veré la próxima edición.$P(\text{at least one success in total})$