¿Cómo sabemos que la probabilidad de sacar 1 y 2 es 1/18?

Desde mi primera clase de probabilidad me he estado preguntando sobre lo siguiente.

El cálculo de probabilidades generalmente se introduce a través de la relación de los "eventos favorecidos" al total de eventos posibles. En el caso de lanzar dos dados de 6 lados, la cantidad de posibles eventos es , como se muestra en la tabla a continuación.$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

Si, por lo tanto, estuviéramos interesados ​​en calcular la probabilidad de que el evento A "arroje un y un 2 ", veríamos que hay dos "eventos favorecidos" y calcularíamos la probabilidad del evento como $1$$2$ .$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

Ahora, lo que siempre me hizo preguntarme es: digamos que sería imposible distinguir entre los dos dados y que solo los observaríamos después de que fueron lanzados, así que por ejemplo observaríamos "Alguien me da una caja. Abro la caja. Hay un y un 2 ". En este escenario hipotético, no podríamos distinguir entre los dos dados, por lo que no sabríamos que hay dos posibles eventos que conducen a esta observación. Entonces nuestros posibles eventos quisieran eso:$1$$2$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

y calcularíamos la probabilidad del evento A como .$\frac{1}{21}$

Una vez más, soy plenamente consciente del hecho de que el primer enfoque nos llevará a la respuesta correcta. La pregunta que me hago es:

¿Cómo sabemos que es correcto?$\frac{1}{18}$

Las dos respuestas que se me ocurren son:

• Podemos comprobarlo empíricamente. Por mucho que me interese esto, debo admitir que no lo he hecho yo mismo. Pero creo que sería el caso.
• En realidad, podemos distinguir entre los dados, como uno es negro y el otro azul, o lanzar uno antes que el otro o simplemente conocer los eventos posibles y luego toda la teoría estándar funciona.$36$

Mis preguntas para usted son:

• ¿Qué otras razones hay para que sepamos que es correcto? (Estoy bastante seguro de que debe haber algunas razones (al menos técnicas) y es por eso que publiqué esta pregunta)$\frac{1}{18}$
• ¿Hay algún argumento básico en contra de asumir que no podemos distinguir entre los dados en absoluto?
• Si suponemos que no podemos distinguir entre los dados y no tenemos forma de verificar la probabilidad empíricamente, es incluso correcto o pasé por alto algo?$P(A) = \frac{1}{21}$

Gracias por tomarse su tiempo para leer mi pregunta y espero que sea lo suficientemente específica.

Imagina que arrojaste tu dado de seis lados y obtuviste ⚀. El resultado fue tan fascinante que llamó a su amigo Dave y se lo contó. Como tenía curiosidad por saber qué obtendría al tirar su dado de seis lados, lo arrojó y obtuvo ⚁.

Un dado estándar tiene seis lados. Si no está haciendo trampa, entonces aterriza en cada lado con la misma probabilidad, es decir, de cada 6 veces. La probabilidad de que arrojes ⚀, igual que con los otros lados, es $1$$6$ . La probabilidad de que arrojes ⚀,ytu amigo arroje ⚁, es$\tfrac{1}{6}$ ya que los dos eventos sonindependientesy multiplicamos las probabilidades independientes. Dicho de otra manera, hay36arreglos de tales pares que se pueden enumerar fácilmente (como ya lo hizo). La probabilidad del evento opuesto (lanzas ⚁ y tu amigo lanza ⚀) también es$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$ . Las probabilidades de que arrojes ⚀,ytu amigo arroje ⚁,oquearrojes ⚁,ytu amigo arroje ⚀, sonexclusivas, así que las agregamos$\tfrac{1}{36}$ . Entre todos los arreglos posibles, hay dos que cumplen esta condición.$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

¿Cómo sabemos todo esto? Bueno, sobre la base de la probabilidad , la combinatoria y la lógica, pero esos tres necesitan un conocimiento fáctico para confiar. Sabemos, sobre la base de la experiencia de miles de jugadores y algunos físicos, que no hay razón para creer que un dado de seis lados tenga más que una posibilidad equiprobable de aterrizar en cada lado. Del mismo modo, no tenemos ninguna razón para sospechar que dos tiros independientes están de alguna manera relacionados e influyen entre sí.

Puede imaginar una caja con tickets etiquetados usando todas las combinaciones (con repetición) de números del 1 al 6 . Eso limitaría el número de posibles resultados a 21 y cambiaría las probabilidades. Sin embargo, si piensa en tal definición en términos de dados, entonces tendría que imaginar dos dados que de alguna manera estén pegados. Esto es algo muy diferente a dos dados que pueden funcionar de manera independiente y pueden lanzarse solos en cada lado con la misma probabilidad sin afectarse entre sí.$2$$1$$6$$21$

Dicho todo esto, uno debe comentar que tales modelos son posibles, pero no para cosas como los dados. Por ejemplo, en la física de partículas basada en observaciones empíricas, parecía que el estadístico de Bose-Einstein de partículas no distinguibles (ver también el problema de las barras y estrellas ) es más apropiado que el modelo de partículas distinguibles. Puede encontrar algunas observaciones sobre esos modelos en Probabilidad o Probabilidad vía Expectativa de Peter Whittle, o en el volumen uno de Introducción a la teoría de probabilidad y sus aplicaciones por William Feller.

Creo que está pasando por alto el hecho de que no importa si "nosotros" podemos distinguir los dados o no, sino que importa que los dados sean únicos y distintos, y que actúen por su propia cuenta.

$(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

Sin embargo, esta fórmula solo es válida cuando cada resultado es igualmente probable . En la primera tabla, cada uno de esos pares es igualmente probable, por lo que la fórmula es válida. En su segunda tabla, cada resultado no es igualmente probable, por lo que la fórmula no funciona. La forma en que encuentras la respuesta usando tu tabla es

$(1,2)$$(2,1)$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

Otra forma de pensar en esto es que este experimento es exactamente igual a tirar cada dado por separado, donde puedes ver el 1 y el 2. De esta manera, los resultados y sus probabilidades coincidirán con el experimento de caja cerrada.

Imaginemos que el primer escenario implica tirar un dado rojo y un dado azul, mientras que el segundo implica tirar un par de dados blancos.

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ $\frac{2}{36}$$\frac{1}{18}.$

$(n,n)$

La siguiente pregunta es "¿cómo podría saber que los eventos no son todos igualmente probables?" Una forma de pensar en esto es imaginar lo que sucedería si pudieras distinguir los dos dados. Tal vez pones una pequeña marca en cada dado. Esto no puede cambiar el resultado, pero reduce el problema del anterior. Alternativamente, suponga que escribe la tabla para que, en lugar de Azul / Rojo, se lea Die Die / Right Die.

Como ejercicio adicional, piense en la diferencia entre ver un resultado ordenado (rojo = 1, azul = 2) versus uno no ordenado (un dado muestra 1, un dado muestra 2).

La idea clave es que si enumera los 36 resultados posibles de dos dados distinguibles, está enumerando resultados igualmente probables . Esto no es obvio, ni axiomático; es cierto solo si tus dados son justos y no están conectados de alguna manera. Si usted enumera los resultados de los dados indistinguibles, no son igualmente probables, porque ¿por qué deberían serlo, así como los resultados "ganar la lotería" y "no ganar la lotería" son igualmente probables.

Para llegar a la conclusión, necesita:

• Estamos trabajando con dados justos, para los cuales los seis números son igualmente probables.
• Los dos dados son independientes, de modo que la probabilidad de que el número dos obtenga un número particular siempre es independiente del número dado por el número uno. (Imagínese en cambio lanzar el mismo dado dos veces sobre una superficie pegajosa de algún tipo que hizo que el segundo lanzamiento saliera diferente).

$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$$(a,b)$$(b,a)$

La idea de que puede obtener probabilidades simplemente contando las posibilidades se basa en supuestos de igual probabilidad e independencia. Estas suposiciones rara vez se verifican en la realidad, pero casi siempre en los problemas del aula.

Si traduce esto en términos de monedas, digamos, volteando dos centavos indistinguibles, se convierte en una cuestión de solo tres resultados: 2 caras, 2 colas, 1 de cada una, y el problema es más fácil de detectar. Se aplica la misma lógica, y vemos que es más probable obtener 1 de cada uno que obtener 2 caras o 2 colas.

Esa es la resbaladiza de su segunda tabla: representa todos los resultados posibles, a pesar de que no todas son probabilidades igualmente ponderadas , como en la primera tabla. Estaría mal definido tratar de explicar qué significa cada fila y columna en la segunda tabla: solo son significativas en la tabla combinada donde cada resultado tiene 1 casilla, independientemente de la probabilidad, mientras que la primera tabla muestra "todos los resultados igualmente probables del dado 1, cada uno con su propia fila ", y de manera similar para las columnas y el dado 2.

Comencemos declarando la suposición: los dados indistinguibles solo arrojan 21 resultados posibles, mientras que los dados distinguibles arrojan 36 resultados posibles.

Para probar la diferencia, obtén un par de dados blancos idénticos. Cubra uno con un material absorbente de rayos UV como protector solar, que es invisible a simple vista. Los dados todavía parecen indistinguibles hasta que los miras bajo una luz negra, cuando el dado recubierto aparece negro mientras el dado limpio brilla.

Oculta el par de dados en una caja y sacúdelo. ¿Cuáles son las probabilidades de que obtengas un 2 y un 1 cuando abras la caja? Intuitivamente, podrías pensar que "sacar un 1 y un 2" es solo 1 de 21 resultados posibles porque no puedes distinguir los dados. Pero si abre la caja bajo una luz negra, puede distinguirlos. Cuando puedes distinguir los dados, "tirar un 1 y un 2" es 2 de 36 combinaciones posibles.

¿Eso significa que una luz negra tiene el poder de cambiar la probabilidad de obtener un resultado determinado, incluso si los dados solo se exponen a la luz y se observan después de haber sido lanzados? Por supuesto no. Nada cambia los dados después de que dejas de sacudir la caja. La probabilidad de un resultado dado no puede cambiar.

Dado que la suposición original depende de un cambio que no existe, es razonable concluir que la suposición original era incorrecta. Pero, ¿qué pasa con la suposición original que es incorrecta: que los dados indistinguibles solo arrojan 21 resultados posibles, o que los dados distinguibles arrojan 36 resultados posibles?

Claramente, el experimento de luz negra demostró que la observación no tiene impacto en la probabilidad (al menos en esta escala, la probabilidad cuántica es una cuestión diferente) o la distinción de los objetos. El término "indistinguible" simplemente describe algo que la observación no puede diferenciar de otra cosa. En otras palabras, el hecho de que los dados parezcan iguales en algunas circunstancias (es decir, que no están bajo una luz negra) y no en otros no tiene relación con el hecho de que son realmente dos objetos distintos. Esto sería cierto incluso si nunca se descubren las circunstancias bajo las cuales puede distinguir entre ellos.

En resumen: su capacidad para distinguir entre los dados que se lanzan es irrelevante al analizar la probabilidad de un resultado particular. Cada dado es inherentemente distinto. Todos los resultados se basan en este hecho, no en el punto de vista de un observador.

Podemos deducir que su segunda tabla no representa el escenario con precisión.

Has eliminado todas las celdas debajo y a la izquierda de la diagonal, sobre la base supuesta de que (1, 2) y (2, 1) son resultados congruentes y, por lo tanto, redundantes.

En su lugar, suponga que tira un dado dos veces seguidas. ¿Es válido contar 1-entonces-2 como un resultado idéntico a 2-entonces-1? Claramente no. Aunque el resultado del segundo rollo no depende del primero, siguen siendo resultados distintos. No puede eliminar los reordenamientos como duplicados. Ahora, lanzar dos dados a la vez es lo mismo para este propósito que lanzar un dado dos veces seguidas. Por lo tanto, no puede eliminar los reordenamientos.

(¿Todavía no está convencido? Aquí hay una especie de analogía. Caminas desde tu casa hasta la cima de la montaña. Mañana caminas de regreso. ¿Hubo algún momento en el tiempo en los dos días cuando estabas en el mismo lugar? Quizás? Ahora imagina camina desde su casa hasta la cima de la montaña, y el mismo día otra persona camina desde la cima de la montaña hasta su casa. ¿Hay algún momento ese día en que se encuentran? Obviamente sí. Son la misma pregunta. Transposición en tiempo de eventos desenredados no cambia las deducciones que se pueden hacer de esos eventos).

$1$$2$ ", sin más información, no sabemos nada acerca de la probabilidad.

Si sabemos que los dos dados son justos y que han sido lanzados, entonces la probabilidad es 1/18 como lo han explicado todas las demás respuestas. El hecho de que no sepamos si el dado con 1 o el dado con 2 se lanzó primero no importa, porque debemos tener en cuenta ambas formas, y por lo tanto, la probabilidad es 1/18 en lugar de 1/36.

Pero si no sabemos qué proceso llevó a tener la combinación 1-2, no podemos saber nada sobre la probabilidad. Tal vez la persona que nos entregó la caja eligió esta combinación a propósito y pegó los dados a la caja (probabilidad = 1), o tal vez sacudió la caja tirando los dados (probabilidad = 1/18) o podría haber elegido al azar. combinación de las 21 combinaciones en la tabla que nos dio en la pregunta y, por lo tanto, probabilidad = 1/21.

En resumen, sabemos la probabilidad porque sabemos qué proceso condujo a la situación final, y podemos calcular la probabilidad para cada etapa (probabilidad para cada dado). El proceso es importante, incluso si no lo hemos visto.

Para finalizar la respuesta, daré un par de ejemplos en los que el proceso es muy importante:

• Lanzamos diez monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cabezas todas las diez veces? Puede ver que la probabilidad (1/1024) es mucho menor que la probabilidad de obtener un 10 si solo elegimos un número aleatorio entre 0 y 10 (1/11).
• Si ha disfrutado este problema, puede intentarlo con el problema de Monty Hall . Es un problema similar donde el proceso importa mucho más de lo que nuestra intuición esperaría.

La probabilidad del evento A y B se calcula multiplicando ambas probabilidades.

La probabilidad de sacar un 1 cuando hay seis opciones posibles es 1/6. La probabilidad de sacar un 2 cuando hay seis opciones posibles es 1/6.

1/6 * 1/6 = 1/36.

Sin embargo, el evento no depende del tiempo (en otras palabras, no se requiere que saquemos un 1 antes que un 2; solo que saquemos un 1 y un 2 en dos lanzamientos).

Por lo tanto, podría tirar un 1 y luego 2 y satisfacer la condición de tirar tanto 1 como 2, o podría tirar un 2 y luego 1 y satisfacer la condición de tirar tanto 1 como 2.

La probabilidad de sacar 2 y luego 1 tiene el mismo cálculo:

1/6 * 1/6 = 1/36.

La probabilidad de A o B es la suma de las probabilidades. Entonces, digamos que el evento A está rodando 1 y luego 2, y el evento B está rodando 2 y luego 1.

Probabilidad del evento A: 1/36 Probabilidad del evento B: 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36 que se reduce a 1/18.