Procesos de punto de mezcla y división.

En la siguiente figura en el lado izquierdo, dos realizaciones de procesos puntuales con diferente densidad (intensidad) y se mezclan haciendo coincidir el centro de las áreas pertenecientes para construir un proceso puntual en el medio con intensidad . Luego, seleccione puntos al azar como dos conjuntos extraídos de él como se muestra en el lado derecho. Preguntas: ¿Es ? y Is ? Si dos en el lado izquierdo fueran Poisson PP, ¿el medio es un Poisson PP? ¿Qué tal los dos en el lado derecho?$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda$

$\lambda=\lambda_1+\lambda_2$$\lambda=\lambda_3+\lambda_4$

Para responder a esta pregunta necesitamos un poco de antecedentes y notación. En la terminología general, denota un proceso de punto en el plano, lo que significa que para cualquier conjunto de Borel, , en el plano, es una variable aleatoria de valor entero (incluyendo ), que cuenta el número de puntos en . Además, es una medida para cada realización del proceso de punto .$N$$A$$N(A)$$+\infty$$A$$A \mapsto N(A)$$N$

Asociado con el proceso de puntos está la medida de expectativa donde la expectativa siempre está bien definida, ya que , pero puede ser . Se deja como ejercicio para verificar que sea ​​nuevamente una medida. Para evitar problemas técnicos, supongamos que , que también es razonable si el proceso solo vive realmente en un conjunto acotado, como el cuadro de la figura que publicó el OP. Esto implica que como para todos .

$$A \mapsto \mu(A) := E(N(A))$$ $N(A) \geq 0$$+\infty$$\mu$$\mu(\mathbf{R}^2) < \infty$$N(A) < \infty$$A$

Siguen las siguientes definiciones y observaciones.

• Decimos que tiene intensidad si tiene densidad wrt la medida de Lebesgue, es decir, si $N$ $\lambda$$\mu$$\lambda$ $$\mu(A) = \int_A \lambda(x) \mathrm{d}x.$$
• Si y son dos procesos puntuales definimos la superposición como la suma . Esto es equivalente a superponer un patrón de puntos encima del otro.$N_1$$N_2$$N_1 + N_2$
• Si y son dos procesos independientes de puntos (o no) con intensidades y entonces la superposición tiene la intensidad .$N_1$$N_2$$\lambda_1$$\lambda_2$$\lambda_1 + \lambda_2$
• Si y son independientes procesos de Poisson entonces la superposición es un proceso de Poisson. Para mostrar esto, primero observamos que es Poisson de las propiedades de convolución de la distribución de Poisson, y luego que si son disjuntos, entonces son independientes porque y son independientes y procesos de Poisson sí mismos. Estas dos propiedades caracterizan un proceso de Poisson. $N_1$$N_2$$N_1(A) + N_2(A)$$A_1, \ldots, A_n$$N_1(A_1) + N_2(A_1), \ldots, N_1(A_n) + N_2(A_n)$$N_1$$N_2$

Resumen I: Hemos demostrado que siempre que un proceso puntual es una suma o superposición de dos procesos puntuales con intensidades, la superposición tiene como intensidad la suma de las intensidades. Si, además, los procesos son independientes de Poisson, la superposición es Poisson.

Para la parte restante de la pregunta, suponemos que como para todos los conjuntos de singleton . Entonces el proceso puntual se llama simple. Los procesos de Poisson con intensidades son simples. Para un proceso de puntos simple, hay una representación de como es decir, como una suma de medidas de Dirac en los puntos aleatorios. Si son variables aleatorias de Bernoulli, un adelgazamiento aleatorio es el proceso de punto simple Está bastante claro que con se sostiene que . Si hacemos iid$N(\{x\}) \leq 1$$\{x\}$$N$

$$N = \sum_i \delta_{X_i},$$ $Z_i \in \{0,1\}$ $$N_1 = \sum_i Z_i \delta_{X_i}.$$ $$N_2 = \sum_i (1-Z_i) \delta_{X_i}$$ $N = N_1 + N_2$adelgazamiento aleatorio, lo que significa que las son independientes y están distribuidas de manera idéntica con probabilidad de éxito , digamos, entonces A partir de esto, $Z_i$$p$
$$N_1(A) \mid N(A) = n \sim \text{Bin}(n, p).$$ $$E(N_1(A)) = E \big(E(N_1(A) \mid N(A))\big) = E(N(A)p) = p \mu(A).$$

Si es un proceso de Poisson, debe quedar claro que para A_1 entonces son nuevamente independientes y Esto muestra que es un proceso de Poisson. Del mismo modo, es un proceso de Poisson (con medida media$N$$A_1, \ldots, A_n$$N_1(A_1), \ldots, N_1(A_n)$

$$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k) & = & \sum_{n=k}^{\infty} P(N_1(A) = k \mid N(A) = n)P(N(A) = n) \\ & =& e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} {n \choose k} p^k(1-p)^{n-k} \frac{\mu(A)^n}{n!} \\ & = & \frac{(p\mu)^k}{k!}e^{-\mu(A)} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{((1-p)\mu(A))^{n-k}}{(n-k)!} \\ & = & \frac{(p\mu(A))^k}{k!}e^{-\mu(A) + (1-p)\mu(A)} = e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!}. \end{array}$$ $N_1$$N_2$$(1-p)\mu$) Lo que queda es mostrar que y son, de hecho, independiente. Cortamos una esquina aquí y decimos que en realidad es suficiente mostrar que y son independientes para arbitraria , y esto se deduce de $N_1$$N_2$$N_1(A)$$N_2(A)$$A$ $$\begin{array}{rcl} P(N_1(A) = k, N_2(A) = r) & = & P(N_1(A) = k, N(A) = k + r) \\ & = & P(N_1(A) = k \mid N(A) = k + r) P(N(A) = k + r) \\ & = & e^{-\mu(A)} {k+r \choose k} p^k(1-p)^{r} \frac{\mu(A)^{k+r}}{(k+r)!} \\ & = & e^{-p\mu(A)}\frac{(p\mu(A))^k}{k!} e^{-(1-p)\mu(A)}\frac{((1-p)\mu(A))^r}{r!} \\ & = & P(N_1(A) = k)P(N_2(A) = r). \end{array}$$

Resumen II: Se concluye que el adelgazamiento aleatoria iid con probabilidad de éxito de un proceso de punto simple, , con intensidad resultados en dos procesos puntuales simples, y , con intensidades de y , respectivamente, y es la superposición de y . Si, por otra parte, es un proceso de Poisson entonces y son procesos de Poisson independientes.$p$$N$$\lambda$$N_1$$N_2$$p\lambda$$(1-p)\lambda$$N$$N_1$$N_2$$N$$N_1$$N_2$

Es natural preguntar si podríamos adelgazar independientemente sin suponer que los están distribuidos de manera idéntica y obtienen resultados similares. Esto es posible, pero un poco más complicado de formular, porque la distribución de debe estar vinculada a la alguna manera. Por ejemplo, para una función dada . Entonces es posible mostrar el mismo resultado que el anterior pero con la intensidad significa la función . Nos saltamos la prueba. La mejor referencia matemática general que cubre procesos de puntos espaciales es Daley y Vere-Jones$Z_i$$Z_i$$X_i$$P(Z_i = 1 \mid N) = p(x_i)$$p$$p\lambda$$p(x)\lambda(x)$. Un segundo cierre de estadísticas y algoritmos de simulación, en particular, es Møller y Waagepetersen .