Si y  son eventos independientes, y y son eventos independientes, ¿cómo demuestro que y  son independientes?

Que y  sean eventos independientes, y que  y sean eventos independientes. ¿Cómo demuestro que  y son eventos independientes?$A$$B$$A$$C$$A$$B\cup C$

Según la definición de eventos independientes,  y son independientes si y solo si$A$$B\cup C$

$$P(A\cap (B\cup C)) = P(A)P(B\cup C).$$

Como y  y y  son independientes, sé que $A$$B$$A$$C$

$$P(A\cap B) = P(A)P(B) \quad\text{and}\quad P(A\cap C)=P(A)P(C).$$

Sin embargo, no tengo idea de cómo resolver esto. Intenté aplicar las reglas de probabilidad que conozco pero no llegué a ninguna parte.

Dejar $A$ y $B$ ser eventos independientes, y dejar $A$ y $C$Ser eventos independientes. ¿Cómo muestro eso?$A$ y $B\cup C$ son eventos independientes también?

No puede mostrar este resultado porque no es válido para todos $A, B, C$ disfrutando de estas propiedades. Considere el siguiente contraejemplo.

Considere dos lanzamientos independientes de una moneda justa. Dejar$B=\{HT,HH\}$ y $C=\{HT,TT\}$sean los eventos que el primer y el segundo lanzamiento resultaron en cara y cruz respectivamente. Dejar$A=\{HT,TH\}$ sea ​​el caso de que exactamente un lanzamiento resulte en Jefes.

Entonces, $P(A)=P(B)=P(C) = \frac 12$ mientras $P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac 14$ y entonces $A$ y $B$ son eventos independientes como son $A$ y $C$Eventos independientes. En efecto,$B$ y $C$ también son eventos independientes (es decir, $A$, $B$y $C$son eventos independientes por pares ). Sin embargo,

$$P(A) = \frac 12 ~ \text{and}~ P(B\cup C)=\frac 34 ~ \text{while}~ P(A\cap(B\cup C)) =\frac 14 \neq P(A)P(B\cup C)$$ y entonces $A$ y $B\cup C$son eventos dependientes

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Dejando de lado nuestro contraejemplo, consideremos qué condiciones se necesitan para hacer $A$ y $B\cup C$Eventos independientes. Las otras respuestas ya han hecho el trabajo por nosotros. Tenemos eso

$$\begin{align} P(A\cap (B\cup C)) &= P((A\cap B) \cup (A\cap C))\\ &= P(A\cap B) + P(A\cap C) - P(((A\cap B) \cap (A\cap C))\\ &= P(A)P(B) + P(A)P(C) - P(A\cap B \cap C)\\ &= P(A)\left(P(B) + P(C) - P(B\cap C)\right) + \left(P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right)\\ &= P(A)P(B\cup C) + \left[P(A)P(B\cap C) - P(A\cap B \cap C)\right] \end{align}$$ y entonces $P(A\cap (B\cup C))$ es igual $P(A)P(B \cup C)$ (como se necesita para demostrar que $A$ y $B\cup C$ son eventos independientes) exactamente cuando $P(A)P(B\cap C)$ es igual $P(A\cap B \cap C) = P(A\cap (B\cap C))$, Eso es cuando $A$ y $B\cap C$ Son eventos independientes.

$A$ y $B\cup C$ son eventos independientes cada vez $A$ y $B\cap C$ Son eventos independientes.

Tenga en cuenta que si $B$ y $C$ son independientes o no, no es relevante para el problema en cuestión: en el contraejemplo anterior, $B$ y $C$ fueron eventos independientes y sin embargo$A = \{HT, TH\}$ y $B\cap C = \{HT\}$No fueron eventos independientes. Por supuesto, como señaló Deep North, si$A$, $B$y $C$son eventos mutuamente independientes (que requieren no solo independencia de$B$ y $C$ pero también para $P(A\cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$ sostener), entonces $A$ y $B\cap C$ son, de hecho, eventos independientes. Independencia mutua de$A$, $B$ y $C$Es una condición suficiente .

De hecho, si $A$ y $B\cap C$ son eventos independientes, entonces, junto con la hipótesis de que $A$ y $B$ son independientes, como son $A$ y $C$ eventos independientes, podemos demostrar que $A$es independiente de todos$4$ de los eventos $B\cap C, B\cap C^c, B^c\cap C, B^c\cap C^c$es decir, de todos $16$ eventos en el $\sigma$-álgebra generada por $B$ y $C$; uno de estos eventos es$B\cup C$.

Dos cosas.

1) ¿Hay alguna forma de reescribir el evento? $A \cap (B\cup C)$. Intuitivamente, sabemos cómo interactúan A, B y A, C, pero no sabemos cómo interactúan B, C. Entonces$(B\cup C)$ se está interponiendo en nuestro camino.

2) ¿Hay alguna forma de reescribir? $P(X\cup Y)$?

Incluso si no obtiene la respuesta de inmediato, edite su respuesta con las respuestas a estas preguntas y pasaremos de allí.

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Por favor verifícame sobre esto. Creo que tengo un contraejemplo.

Tirando un dado para obtener X.

A: X <4

B: X en {1, 4}

C: X en {1, 5}

Según el comentario de Dilip Sarwate, estos eventos son demostrablemente no independientes.

La forma típica en que trataría de probar la independencia es así:

$$\begin{align*} P(A, B \cup C) & = P(\{A, B\} \cup \{A, C\}) & \text{distributive property} \\ & = P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) & \text{sum rule} \end{align*}$$

y aquí te gustaría factorizar $P(A)$ out of the expression in order to establish the property $P(A, B \cup C) = P(A)P(B \cup C)$, which would be sufficient to prove independence. However if you try to do that here, you get stuck:

$$P(A, B) + P(A, C) - P(A,B,C) = P(A) \{ P(B) + P(C) - P(B,C \, | \, A) \}$$

Note that the braced expression is almost $P(B) + P(C) - P(B,C)$, which would get you to your goal. But you have no information that allows you to reduce $P(B,C \, | \, A)$ any further.

Note that in my original answer I had sloppily asserted that $P(B, C \, | \, A) = P(A)P(B, C)$ and thus erroneously claimed that the result asked to be proved was true; it's easy to mess up!

But given that it proves to be difficult to demonstrate independence in this way, a good next step is to look for a counterexample, i.e. something that falsifies the claim of independence. Dilip Sarwate's comment on the OP includes exactly such an example.

$P[A \cap(B \cup C)]=P[(A \cap B) \cup (A \cap C)]=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[( A \cap B)\cap (A \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A \cap B \cap C)$

$P(A)*P(B \cup C)=P(A)[P(B)+P(C)-P(B \cap C)]=P(A)*P(B)+P(A)*P(C)-P(A)*P( B \cap C)$

Now, we need to show $P(A \cap B \cap C)=P(A)*P( B \cap C)$

If $A, B,C$ are mutually independent,the results are obvious.

While the condition is $A$ and $B$ are independent and $A$ and $C$ are independent do not guarantee independent of $B$ and $C$

Therefore, the OP may need to reexamine the condition of the question.

P{A(B+C)}=P(AB+BC)=P(AB)+P(AC)-P(ABC) =P(A)P(B)+P(A)P(C)-P(A)P(BC) [A,B,C are mutually independent] =P(A)[P(B)+P(C)-P(BC)] =P(A)P(B+C) Hence A and B+C are independent.