Cálculo de la función de enlace canónico en GLM

Pensé que la función de enlace canónico proviene del parámetro natural de la familia exponencial. Digamos, considere la familia then \ theta = \ theta (\ mu) es la función de enlace canónico. Tome la distribución de Bernoulli como ejemplo, tenemos P (Y = y) = \ mu ^ {y} (1- \ mu) ^ {1-y} = \ exp \ left \ {y \ log \ frac {\ mu} {1- \ mu} + \ log {(1- \ mu)} \ right \} Entonces, la función de enlace canónico g (\ mu) = \ log \ frac {\ mu} {1- \ mu}$g(\cdot)$

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ $\theta=\theta(\mu)$ $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

Pero cuando veo esta diapositiva , afirma que

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$ Aunque se puede verificar fácilmente para esta distribución en particular (y algunas otras distribuciones, como la distribución de Poisson), No puedo ver la equivalencia para el caso general. ¿Alguien puede dar pistas? Gracias ~

La función de varianza para la variable Bernoulli es $V(\mu) = \mu(1-\mu)$ . Verificamos fácilmente que con el enlace canónico $g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$ luego

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

Para el caso general, se deriva de la definición de que ver p. ej. páginas 28-29 en McCullagh y Nelder . Con el enlace canónico tenemos , y la función de varianza se define como , que en términos de convierte en Por diferenciación de la identidad obtenemos

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

En la construcción de funciones cuasi-verosimilitud es natural comenzar con la relación entre la media y la varianza, dada en términos de la función de la varianza . En este contexto, la anti-derivada de puede interpretarse como una generalización de la función de enlace; véase, por ejemplo, la definición de cuasi-verosimilitud (log) en la página 325 (fórmula 9.3 ) en McCullagh y Nelder . $V$$V(\mu)^{-1}$