¿Podemos reescribir siempre una distribución sesgada a la derecha en términos de composición de una distribución arbitraria y simétrica?

Considere una distribución diferenciable y simétrica dos veces . Ahora considere una segunda distribución dos veces diferenciable derecha sesgada en el sentido de que: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

donde es el orden convexo de van Zwet [0] para que sea equivalente a: $\preceq_c$ $(1)$

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

Considere ahora una tercera distribución dos veces diferenciable satisfactoria: $\mathcal{F}_Y$

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

Mi pregunta es: ¿podemos encontrar siempre una distribución y una distribución simétrica para reescribir cualquier (las tres definidas anteriormente) en términos de una composición de y como: $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

¿o no?

Editar:

Por ejemplo, si es el Weibull con el parámetro de forma 3.602349 (para que sea simétrico) y es la distribución de Weibull con el parámetro de forma 3/2 (para que esté sesgado a la derecha), obtengo $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

$\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$

[0] van Zwet, WR (1979). Media, mediana, modo II (1979). Statistica Neerlandica. Volumen 33, Número 1, páginas 1--5.

distributions skewness usuario603
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Respuestas:

¡No!

$g$ $h=0$ $g$ $h$

$\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

$g$ $g=0$

$g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

$g_Y\approx g_Z/2$

[0] HL MacGillivray Propiedades de forma de las familias g-and-h y Johnson. Com. Statist. — Theory Methods, 21 (5) (1992), págs. 1233–1250

Editar:

En el caso del Weibull, la afirmación es cierta:

$\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

Primera nota que cualquiera de las tres distribuciones de Weibull siempre se puede ordenar en el sentido de [0].

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

Ahora, para el Weibull:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

así que eso

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

ya que

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

$w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet, WR (1979). Media, mediana, modo II (1979). Statistica Neerlandica. Volumen 33, Número 1, páginas 1--5.
[1] Groeneveld, RA (1985). Inclinación para la familia weibull. Statistica Neerlandica. Volumen 40, Número 3, páginas 135–140.

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