¿Cómo probar si la varianza explicada por el primer factor de PCA difiere entre las condiciones de medidas repetidas?

Contexto:

Tengo un estudio donde se miden seis variables numéricas en cada una de las dos condiciones experimentales de medidas repetidas (n = 200). Llamemos a las condiciones y y las variables y . Teóricamente, espero que en la condición se explique más la variación en las variables por el primer factor de un análisis de componentes principales (PCA).$A$$B$$A_1, A_2,..., A_6$$B_1, B_2,..., B_6$$B$

Los valores típicos serían:

• Primer factor de PCA en representa el 30% de la varianza$A_1, ..., A_6$
• Primer factor de PCA en representa el 40% de la varianza.$B_1, ..., B_6$

Preguntas:

• ¿Cómo puedo probar si esta diferencia es estadísticamente significativa?
• ¿Cómo podría implementarse esto en R?

Solo una idea (tal vez tonta). Guarde la variable de puntaje del primer componente principal para la condición A (PC1A) y la variable de puntaje del primer componente principal para la condición B (PC1B). Las puntuaciones deben ser "en bruto", es decir, sus variaciones o suma de cuadrados iguales a sus valores propios. Luego use la prueba de Pitman para comparar las variaciones.

¿Recibí tu respuesta correcta? - ¿Quiere probar si existe una diferencia estadísticamente significativa entre las dos condiciones?

Perhabs vegan :: adonis () es algo para ti? No sé si eso es lo que estás buscando.

Funciona en la matriz de distancias y compara distancias dentro de una condición que son más grandes que entre condiciones. Por ejemplo, en una NMDS, vería una clara separación de las dos condiciones.

Aquí hay un código de ejemplo:

df <- data.frame(cond = rep(c("A", "B"), each = 100), 
 v1 <- jitter(rep(c(20, 100), each = 100)),
 v2 <- jitter(rep(c(0, 80), each = 100)),
 v3 <- jitter(rep(c(40, 5), each = 100)),
 v4 <- jitter(rep(c(42, 47), each = 100)),
 v5 <- jitter(rep(c(78, 100), each = 100)),
 v6 <- jitter(rep(c(10, 100), each = 100)))

# PCA
require(vegan)
pca <- rda(df[ ,-1], scale = TRUE)
ssc <- scores(pca, display = "sites")
ordiplot(pca, type = "n")
points(ssc[df$cond == "A", ], col = "red", pch = 16)
points(ssc[df$cond == "B", ], col = "blue", pch = 16)

# NMDS
nmds <- metaMDS(df[ ,-1], distance = "euclidian")
nmsc <- scores(nmds, display = "sites")
ordiplot(nmds, type = "n")
points(nmsc[df$cond == "A", ], col = "red", pch = 16)
points(nmsc[df$cond == "B", ], col = "blue", pch = 16)

# use adonis to test if there is a difference between the conditions
adonis(df[ ,-1] ~ df[ ,1], method = "euclidean")
## There is a statistically significant difference between the two conditions

Prueba de permutación

Para probar la hipótesis nula directamente, use una prueba de permutación.

Deje que la primera PC en la condición explique de varianza, y la primera PC en la condición explique de varianza. Su hipótesis es que , por lo que podemos definir como la estadística de interés, y la hipótesis es que . La hipótesis nula a rechazar es que .$A$$a<100\%$$B$$b<100\%$$b>a$$c=b-a$$c>0$$c=0$

Para realizar la prueba de permutación, tome su muestras de ambas condiciones, y ellos dividido aleatoriamente en condiciones y . Como la división es aleatoria, no debería haber diferencia en la varianza explicada después de eso. Para cada permutación, puede calcular , repetir este proceso muchas (por ejemplo, ) veces y obtener la distribución de bajo la hipótesis nula de . La comparación de su valor empírico de con esta distribución producirá un valor .$N=200+200$$A$$B$$c$$10000$$c$$c_\mathrm{true}=0$$c$$p$

Bootstrapping

Para obtener el intervalo de confianza en , use bootstrapping.$c$

En el enfoque de bootstrapping, se selecciona al azar muestras con el reemplazo de las muestras existentes en y otro de . Calcule y repítalo muchas veces (nuevamente, digamos, ) veces. Obtendrá una distribución de arranque de los valores de , y sus intervalos de percentiles se corresponderán con los intervalos de confianza del valor empírico . Por lo tanto, puede estimar el valor observando qué parte de esta distribución se encuentra por encima de .$N=200$$A$$N=200$$B$$c$$10000$$c$$c$$p$$0$

La prueba de permutación es una forma más directa (y probablemente menos dependiente de cualquier suposición) para probar la hipótesis nula, pero el arranque tiene un beneficio adicional de producir un intervalo de confianza en .$c$

Esto es solo un esbozo de idea. La proporción de varianza se define como

donde son los valores propios de la matriz de covarianza. Ahora, si usamos los valores propios de la matriz de correlación, entonces , dado que la suma de los valores propios de una matriz es igual a la traza de la matriz, y para las matrices de correlación, la traza es la suma de unos. .$\lambda_i$$\lambda_1+...+\lambda_6=6$

Entonces, si usamos las matrices de correlación, necesitamos probar hipótesis sobre la diferencia de dos valores propios máximos de las matrices de correlación de muestra. Es ciertamente posible encontrar en la literatura la distribución asintótica del valor propio máximo de la matriz de correlación. Entonces, el problema se reduce a algún tipo de prueba t emparejada o no emparejada.