Varianza de combinaciones lineales de variables aleatorias correlacionadas

Entiendo la prueba de que pero no entiendo cómo probar la generalización en combinaciones lineales arbitrarias.

$$Var(aX+bY) = a^2Var(X) +b^2Var(Y) + 2abCov(X,Y),$$

Deje ser escalares para para que tengamos un vector , y sea ​​un vector de variables aleatorias correlacionadas. Entonces ¿Cómo probamos esto? Me imagino que hay pruebas en la notación de suma y en la notación vectorial.$a_i$$i\in {1,\dots ,n}$$\underline a$$\underline X = X_i,\dots ,X_n$

$$Var(a_1X_1 + \dots a_nX_n) = \sum_{i=1}^n a_i^2 \sigma_i^2 + 2 \sum_{i=1}^n \sum_{j>i}^n a_i a_j \text{ Cov}(X_i,X_j)$$

Esto es solo un ejercicio para aplicar las propiedades básicas de las sumas, la linealidad de la expectativa y las definiciones de varianza y covarianza.

$$\begin{align} \operatorname{var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) &= E\left[\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right)^2\right] - \left(E\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right]\right)^2 &\scriptstyle{\text{one definition of variance}}\\ &= E\left[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j X_iX_j\right] - \left(E\left[\sum_{i=1}^n a_i X_i\right]\right)^2 &\scriptstyle{\text{basic properties of sums}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j E[X_iX_j] - \left(\sum_{i=1}^n a_i E[X_i]\right)^2 &\scriptstyle{\text{linearity of expectation}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j E[X_iX_j] - \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_ia_j E[X_i]E[X_j] &\scriptstyle{\text{basic properties of sums}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j \left(E[X_iX_j] - E[X_i]E[X_j]\right)&\scriptstyle{\text{combine the sums}}\\ &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_i a_j\operatorname{cov}(X_i,X_j) &\scriptstyle{\text{apply a definition of covariance}}\\ &= \sum_{i=1}^n a_i^2\operatorname{var}(X_i) + 2\sum_{i=1}^n \sum_{j\colon j > i}^n a_ia_j\operatorname{cov}(X_i,X_j) &\scriptstyle{\text{re-arrange sum}}\\ \end{align}$$ Tenga en cuenta que en ese último paso, también hemos identificado como la varianza .$\operatorname{cov}(X_i,X_i)$$\operatorname{var}(X_i)$

Realmente puedes hacerlo por recursión sin usar matrices:

Tome el resultado para y deje que .$\text{Var}(a_1X_1+Y_1)$$Y_1=a_2X_2+Y_2$

$\text{Var}(a_1X_1+Y_1)$

$\qquad=a_1^2\text{Var}(X_1)+2a_1\text{Cov}(X_1,Y_1)+\text{Var}(Y_1)$

$\qquad=a_1^2\text{Var}(X_1)+2a_1\text{Cov}(X_1,a_2X_2+Y_2)+\text{Var}(a_2X_2+Y_2)$

$\qquad=a_1^2\text{Var}(X_1)+2a_1a_2\text{Cov}(X_1,X_2)+2a_1\text{Cov}(X_1,Y_2)+\text{Var}(a_2X_2+Y_2)$

Luego, sustituya y utilice los mismos resultados básicos, luego, en el último paso, utilice$Y_{i-1}=a_iX_i+Y_i$$Y_{n-1}=a_nX_n$

Con vectores (por lo que el resultado debe ser escalar):

$\text{Var}(a'\,X)=a'\,\text{Var}(X)\,a$

O con una matriz (el resultado será una matriz de varianza-covarianza):

$\text{Var}(A\,X)=A\,\text{Var}(X)\,A'$

Esto tiene la ventaja de proporcionar covarianzas de las diversas combinaciones lineales cuyos coeficientes son las filas de en los elementos fuera de la diagonal en el resultado.$A$

Incluso si solo conoce los resultados univariados, puede confirmarlos marcando elemento por elemento.

Básicamente, la prueba es la misma que la primera fórmula. Demostraré que usa un método muy brutal.

$Var(a_1X_1+...+a_nX_n)=E[(a_1X_1+..a_nX_n)^2]-[E(a_1X_1+...+a_nXn)]^2 =E[(a_1X_1)^2+...+(a_nX_n)^2+2a_1a_2X_1X_2+2a_1a_3X_1X_3+...+2a_1a_nX_1X_n+...+2a_{n-1}a_nX_{n-1}X_n]-[a_1E(X1)+...a_nE(X_n)]^2$

$=a_1^2E(X_1^2)+...+a_n^2E(X_n^2)+2a_1a_2E(X_1X_2)+...+2a_{n-1}a_nE(X_{n-1}X_n)-a_1^2[E(X_1)]^2-...-a_n^2[E(X_n)]^2-2a_1a_2E(X_1)E(X_2)-...-2a_{n-1}a_nE(X_{n-1})E(X_n)$

$=a_1^2E(X_1^2)-a_1^2[E(X_1)]^2+...+a_n^2E(X_n^2)-a_n^2[E(Xn)]^2+2a_1a_2E(X_1X_2)-2a_1a_2E(X_1)E(X_2)+...+2a_{n-1}a_nE(X_{n-1}X_n)-2a_{n-1}a_nE(X_{n-1})E(X_n)$

Siguiente nota:

$a_n^2E(X_n^2)-a_n^2[E(X_n)]^2=a_n\sigma_n^2$

y

$2a_{n-1}a_nE(X_{n-1}X_n)-2a_{n-1}a_nE(X_{n-1})E(X_n)=2a_{n-1}a_nCov(X_{n-1},Xn)$

¡Solo por diversión, prueba por inducción!

Dejar $P(k)$ ser la declaración de que $Var[\sum_{i=1}^k a_iX_i] = \sum_{i=1}^k a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^k \sum _{j>i}^k a_ia_jCov[X_i, X_j]$

Then $P(2)$ is (trivially) true (you said you're happy with that in the question).

Let's assume P(k) is true. Thus,

$Var[\sum_{i=1}^{k+1} a_iX_i] = Var[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i + a_{k+1}X_{k+1}]$

$=Var[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i] + Var[a_{k+1}X_{k+1}] + 2 Cov[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i,a_{k+1}X_{k+1}]$

$=\sum_{i=1}^k a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^k \sum _{j>i}^k a_ia_jCov[X_i, X_j]+ a_{k+1}^2\sigma_{k+1}^2 + 2Cov[\sum_{i=1}^{k} a_iX_i, a_{k+1}X_{k+1}]$

$=\sum_{i=1}^{k+1} a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^k \sum _{j>i}^k a_ia_jCov[X_i, X_j] + 2\sum_{i=1}^ka_ia_{k+1}Cov[X_i, X_{k+1}]$

$=\sum_{i=1}^{k+1} a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^{k+1} \sum _{j>i}^{k+1} a_ia_jCov[X_i, X_j]$

Thus $P(k+1)$ is true.

So, by induction,

$Var[\sum_{i=1}^n a_iX_i] = \sum_{i=1}^n a_i^2\sigma_i^2 + 2\sum_{i=1}^n \sum _{j>i}^n a_ia_jCov[X_i, X_j]$ for all integer $n \geq 2$.