¿Es la mediana una propiedad "métrica" ​​o "topológica"?

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Pido disculpas por el ligero abuso de la terminología; Espero que quede claro lo que quiero decir a continuación.

Considere una variable aleatoria . Tanto la media como la mediana pueden caracterizarse por un criterio de optimización: la media es ese número que minimiza , y la mediana ese número que minimiza . En esta perspectiva, la diferencia entre la media y la mediana es la elección de "métrica" ​​para evaluar las desviaciones, el cuadrado o el valor absoluto.XμE((X−μ)2)E(|X−μ|)

Por otro lado, la mediana es ese número para el cual (suponiendo una continuidad absoluta), es decir, esta definición depende solo de la capacidad de ordenar valores de y es independiente de cuánto difieren Una consecuencia de esto es que para cada función estrictamente creciente , , lo que significa que es "topológico" en el sentido de invariancia bajo transformaciones "de goma".Pr(X≤μ)=12Xf(x)median(f(X))=f(median(X))

Ahora que he hecho los cálculos y sé que, a partir del criterio de optimización, puedo llegar al cuantificador , por lo que ambos describen lo mismo. Pero todavía estoy confundido, porque mi intuición me dice que algo que depende de una "métrica" ​​no puede conducir a una propiedad "topológica".12

¿Alguien puede resolver este enigma por mí?

mean median A. Donda
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Buen título! :-)
Luis Mendo

Respuestas:

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La falla en su razonamiento es que algo que depende de una métrica no puede ser una propiedad topológica.

Tomar compacidad de espacios métricos. Esto se puede definir en términos de la métrica: la compacidad significa que el espacio está completo (depende de la métrica) y totalmente limitado (depende de la métrica). Sin embargo, resulta que esta propiedad es invariante bajo el homeomorfismo y, de hecho, se puede definir solo en términos de la topología (subcubiertas finitas de cualquier cubierta, de la manera habitual).

Otro ejemplo son las diversas teorías de homología. Solo la homología singular es verdaderamente topológica en su definición. Todos los demás, simplicial, celular, De Rham (cohomología, pero concédeme un poco de holgura), etc., dependen de una estructura adicional, pero resultan ser equivalentes (y bastante más fáciles de trabajar).

Esto surge mucho en matemáticas, a veces la forma más fácil de definir algo es en términos de alguna estructura auxiliar, y luego se demuestra que la entidad resultante, de hecho, no depende de la elección de la estructura auxiliar.

Matthew Drury
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¡Gracias por la respuesta! Parece que te estás tomando mi terminología más en serio de lo que creía posible. Tengo que admitir que solo tengo el conocimiento más básico de espacios topológicos y métricos, por lo que esta podría ser una pregunta estúpida: entiendo que usar una estructura auxiliar hace la vida más fácil, aunque no es estrictamente necesario, bueno, tal vez ese sea el caso aquí también.
A. Donda
Pero también dice que "la entidad resultante no depende, de hecho, de la elección de la estructura auxiliar". ¿Entiendo correctamente que uno puede usar diferentes estructuras auxiliares para llegar exactamente a la misma topología? Si es así, entonces la analogía se rompe aquí, porque usando la "métrica cuadrada" no llego a la mediana, sino a la media, que no es invariable bajo transformaciones monotónicas.
A. Donda
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Buen punto. Supongo que lo que digo es que no es sorprendente que algo que se puede definir en términos de una estructura se defina en términos de una estructura más débil, ¡y a menudo, cuando esto sucede, ha encontrado un concepto útil! En su caso, puede definir la mediana en términos de aritmética e integración de números reales, que es una gran estructura, pero de hecho, existe una definición que cambia la aritmética por el orden, una estructura más débil. Mis casos fueron en el extremo extremo, donde la estructura más débil resulta ser casi ninguna estructura.
Matthew Drury
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Otro punto. Se podría decir que la razón por la cual las transformaciones monotónicas preservan la mediana es porque hay una manera de definirlas en términos de estructura para las cuales las transformaciones monotónicas son los morfismos . El morfismo es una palabra abstracta general sin sentido que significa función que conserva cierta estructura .
Matthew Drury
Ok, entiendo el punto general. Pero todavía tengo la sensación de que queda algo sin explicar, en particular el punto mencionado anteriormente. He votado a favor, pero por esta razón no aceptaré tu respuesta, tal vez alguien tenga alguna idea adicional. ¡Gracias de nuevo!
A. Donda