Intuición para momentos más altos en estadísticas circulares

En las estadísticas circulares, el valor esperado de una variable aleatoria con valores en el círculo S se define como m 1 ( Z ) = ∫ S z P Z ( θ ) d θ (ver wikipedia ). Esta es una definición muy natural, como lo es la definición de la varianza V a r ( Z ) = 1 - | m 1 ( Z ) | . ¡Así que no necesitamos un segundo momento para definir la varianza!$Z$$S$

No obstante, definimos los momentos más altos Admito que esto parece bastante natural también a primera vista, y muy similar a la definición en estadística lineal. Pero aún así me siento un poco incómodo, y tengo lo siguiente

Preguntas:

1. ¿Qué se mide por los momentos superiores definidos anteriormente (intuitivamente)? ¿Qué propiedades de la distribución pueden caracterizarse por sus momentos?

2. En el cálculo de los momentos superiores usamos la multiplicación de números complejos, aunque pensamos en los valores de nuestras variables aleatorias simplemente como vectores en el plano o como ángulos. Sé que la multiplicación compleja es esencialmente la suma de ángulos en este caso, pero aún así: ¿por qué la multiplicación compleja es una operación significativa para datos circulares?

$P^Z$$Z$$1$$Z$$[0,2\pi)$

En cuanto a su segunda pregunta, creo que ya dio la respuesta: "la multiplicación compleja es esencialmente la suma de ángulos en este caso".