Expectativa en productos de orden superior de distribuciones normales

Tengo dos variables normalmente distribuidas $X_1$ y $X_2$ con media cero y matriz de covarianza $\Sigma$ . Estoy interesado en tratar de calcular el valor de $E[X_1^2 X_2^2]$ en términos de las entradas de $\Sigma$ .

Usé la ley de probabilidad total para obtener pero no estoy seguro de a qué se reduce la expectativa interna. ¿Hay otro método aquí?$E[X_1^2 X_2^2] = E[X_1^2 E[X_2^2 | X_1]]$

Gracias.

Editar: Las variables también son multivariadas normalmente distribuidas.

La expectativa es claramente proporcional al producto de los factores de escala al cuadrado . La constante de proporcionalidad se obtiene estandarizando las variables, lo que reduce Σ a la matriz de correlación con la correlación ρ = σ 12 / $\sigma_{11}\sigma_{22}$$\Sigma$ .$\rho = \sigma_{12}/\sqrt{\sigma_{11}\sigma_{22}}$

Asumiendo la normalidad bivariada, de acuerdo con el análisis en https://stats.stackexchange.com/a/71303 podemos cambiar las variables a

$$X_1 = X,\ X_2 = \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y$$

donde tiene una distribución normal bivariada estándar (no correlacionada), y solo necesitamos calcular$(X,Y)$

$$\mathbb{E}\left(X^2 (\rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right) Y)^2\right) = \mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y)$$

donde el valor preciso de la constante no importa. ( Y es el residuo al retroceder X 2 contra X 1. ) Usar las expectativas univariadas para la distribución normal estándar$c$$Y$$X_2$$X_1$

$$\mathbb{E}(X^4)=3,\ \mathbb{E}(X^2) = \mathbb{E}(Y^2)=1,\ \mathbb{E}Y=0$$

y observando que e Y son rendimientos independientes$X$$Y$

$$\mathbb{E}(\rho^2 X^4 + (1-\rho^2)X^2 Y^2 + c X^3 Y) = 3\rho^2 + (1-\rho^2) + 0 = 1 + 2\rho^2.$$

Multiplicando esto por da$\sigma_{11}\sigma_{22}$

$$\mathbb{E}(X_1^2 X_2^2) = \sigma_{11}\sigma_{22} + 2\sigma_{12}^2.$$

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El mismo método se aplica para encontrar la expectativa de cualquier polinomio en , porque se convierte en un polinomio en ( X , ρ X + ( $(X_1,X_2)$y que, cuando se expande, es un polinomio en lasindependientesvariables distribuidas normalmenteXyY. Desde$(X, \rho X + \left(\sqrt{1-\rho^2}\right)Y)$$X$$Y$

$$\mathbb{E}(X^{2k}) = \mathbb{E}(Y^{2k}) = \frac{(2k)!}{k!2^k} = \pi^{-1/2} 2^k\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)$$

para la integral (con todos los momentos impares iguales a cero por simetría) podemos derivar$k\ge 0$

$$\mathbb{E}(X_1^{2p}X_2^{2q}) = (2q)!2^{-p-q}\sum_{i=0}^q \rho^{2i}(1-\rho^2)^{q-i}\frac{(2p+2i)!}{(2i)! (p+i)! (q-i)!}$$

(con todas las demás expectativas de monomios iguales a cero). Esto es proporcional a una función hipergeométrica (casi por definición: las manipulaciones involucradas no son profundas ni instructivas),

$$\frac{1}{\pi} 2^{p+q} \left(1-\rho ^2\right)^q \Gamma \left(p+\frac{1}{2}\right) \Gamma \left(q+\frac{1}{2}\right) \, _2F_1\left(p+\frac{1}{2},-q;\frac{1}{2};\frac{\rho ^2}{\rho ^2-1}\right).$$

$\left(1-\rho ^2\right)^q$$\rho$