Mediana de desviación absoluta (MAD) y SD de diferentes distribuciones

Para los datos distribuidos normalmente, la desviación estándar y la desviación absoluta media están relacionadas por:$\sigma$$\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

donde $\Phi()$ es la función de distribución acumulativa para la distribución normal estándar.

¿Existe alguna relación similar para otras distribuciones?

Para abordar la pregunta en los comentarios:

Me gustaría saber si existe un rango posible de valores de la constante

(Supongo que la pregunta tiene que ver con la desviación media de la mediana).

1. La relación de SD a MAD puede hacerse arbitrariamente grande.

   Tome alguna distribución con una proporción dada de SD a MAD. Mantenga el de la distribución fija (lo que significa que MAD no ha cambiado). Mueve las colas más hacia afuera. SD aumenta. Sigue moviéndolo más allá de cualquier límite finito dado.$50\%+\epsilon$

2. La proporción de SD a MAD se puede hacer fácilmente tan cerca de como se desee (por ejemplo) poniendo en y a 0.$\sqrt{\frac{1}{2}}$$25\%+\epsilon$$\pm 1$$50\%-2\epsilon$

   Creo que sería tan pequeño como parece.

$f(x;\theta)$$\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$$G_\theta$$|X-\text{MED}_\theta|$$\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$$F_\theta$$X$

1. $\theta=\sigma$$\text{MAD}_\theta$$\sigma$
2. $\theta=(\mu,\sigma)$$\mu$ $$f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$$ $|X-\text{MED}_\theta|$$|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$$\mu$$G_\theta$$\sigma$$\text{MAD}_\theta$$\sigma$