Por lo general, la teoría de la probabilidad se enseña con los axiomas de Kolgomorov. ¿Los bayesianos también aceptan los axiomas de Kolmogorov?

En mi opinión, la interpretación de la probabilidad de Cox-Jaynes proporciona una base rigurosa para la probabilidad bayesiana:

• Cox, Richard T. "Probabilidad, frecuencia y expectativa razonable". Revista estadounidense de física 14.1 (1946): 1-13.
• Jaynes, Edwin T. Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia. Cambridge University Press, 2003.
• Beck, James L. "Identificación del sistema bayesiano basada en la lógica de probabilidad". Control estructural y monitoreo de salud 17.7 (2010): 825-847.

Los axiomas de la lógica de probabilidad derivados de Cox son:

1. $\Pr[b|a]\ge0$
2. (P2): (función de negación)$\Pr[\overline{b}|a]=1-\Pr[b|a]$
3. (P3): (función de conjunción)$\Pr[b\cap c|a]=\Pr[c|b\cap a]\Pr[b|a]$

Los axiomas P1-P3 implican lo siguiente (Beck, James L. "Identificación del sistema bayesiano basada en la lógica de probabilidad". Control estructural y monitoreo de salud 17.7 (2010): 825-847):

4. (P4): a) ; b) ; c)Pr [ ¯ b | b ∩ c ] = 0 Pr [ b | c ] ∈ [ 0 , 1 $\Pr[b|b\cap c] = 1$$\Pr[\overline{b}|b\cap c] = 0$$\Pr[b|c]\in[0,1]$
5. (P5): a) , b) , donde significa que está contenido en , y significa que es equivalente a .Pr [ a | c ∩ ( a ⇔ b ) ] = Pr [ b | c ∩ ( a ⇔ b ) ] a ⇒ b a c a ⇔ b a $\Pr[a|c \cap (a \Rightarrow b)]\le\Pr[b|c\cap(a \Rightarrow b)]$$\Pr[a|c\cap(a \Leftrightarrow b)] = \Pr[b|c\cap(a \Leftrightarrow b)]$$a \Rightarrow b$$a$$c$$a \Leftrightarrow b$$a$$b$
6. (P6):$\Pr[a \cup b|c] = \Pr[a|c]+\Pr[b|c]-\Pr[a\cap b|c]$
7. (P7): Suponiendo que la proposición establece que una y solo una de las proposiciones es verdadera, entonces: b 1 , ... , b $c$$b_1,\ldots,b_N$
   • a) Teorema de marginación:$\Pr[a|c]=\sum_{n=1}^N P[a \cap b_n|c]$
   • b) Teorema de probabilidad total:$\Pr[a|c] = \sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]$
   • c) Teorema de Bayes: Para :Pr [ b k | a ∩ c ] = Pr [ a | b k ∩ c ] Pr [ b k | c $k=1,\ldots,N$$\Pr[b_k|a\cap c] = \frac{\Pr[a|b_k\cap c]\Pr[b_k|c]}{\sum_{n=1}^N \Pr[a|b_n\cap c]\Pr[b_n|c]}$

Implican la declaración de lógica de Kolmogorov, que puede verse como un caso especial.

En mi interpretación de un punto de vista bayesiano, todo está siempre (implícitamente) condicionado a nuestras creencias y a nuestro conocimiento.

La siguiente comparación está tomada de Beck (2010): identificación del sistema bayesiano basada en la lógica de probabilidad

El punto de vista bayesiano

La probabilidad es una medida de plausibilidad de una declaración basada en información especificada.

1. Las distribuciones de probabilidad representan estados de conocimiento plausible sobre sistemas y fenómenos, no propiedades inherentes a ellos.
2. La probabilidad de un modelo es una medida de su plausibilidad en relación con otros modelos en un conjunto.
3. Cuantifica pragmáticamente la incertidumbre debido a la falta de información sin ninguna afirmación de que esto se deba a la aleatoriedad inherente de la naturaleza.

El punto de vista frecuente

La probabilidad es la frecuencia relativa de ocurrencia de un evento inherentemente aleatorio a largo plazo .

1. Las distribuciones de probabilidad son propiedades inherentes de los fenómenos aleatorios.
2. Alcance limitado, por ejemplo, sin significado para la probabilidad de un modelo.
3. Se supone aleatoriedad inherente , pero no se puede probar.

Cómo derivar los axiomas de Kolmogorov de los axiomas anteriores

A continuación, la sección 2.2 de [Beck, James L. "Identificación del sistema bayesiano basada en la lógica de probabilidad". Control estructural y monitoreo de salud 17.7 (2010): 825-847.] Se resume:

A continuación, usamos: medida de probabilidad en el subconjunto de un conjunto finito :A $\Pr(A)$$A$$X$

1. [K1]:$\Pr(A)\ge 0, \forall A \subset X$
2. [K2]:$\Pr(X) = 1$
3. [K3]: si y son disjuntos.$\Pr(A\cup B)=\Pr(A)+\Pr(B), \forall A,B \subset X$$A$$B$

Para derivar (K1-K3) de los axiomas de la teoría de la probabilidad, [Beck, 2010] introdujo el propositon que establece y especifica el modelo de probabilidad para . [Beck, 2010] además presenta .$\pi$$x\in X$$x$$\Pr(A) = \Pr[x\in A|\pi]$

• P1 implica K1 con y$b=\{x\in A\}$$c=\pi$
• K2 se sigue de ; P4 (a), y estados que .$\Pr[x\in X|\pi]=1$$\pi$$x\in X$
• K3 se puede derivar de P6: y son disjuntos significa que y son mutuamente excluyentes. Por lo tanto, K3:$A$$B$$x\in A$$x\in B$ $\Pr(x\in A\cup B|\pi)=\Pr(x\in A|\pi)+\Pr(x\in B|\pi)$

Después del desarrollo de la Teoría de la Probabilidad, fue necesario mostrar que los conceptos más flexibles que respondían al nombre de "probabilidad" estaban a la altura del concepto rigurosamente definido que habían inspirado. Las probabilidades bayesianas "subjetivas" fueron consideradas por Ramsey y de Finetti, quienes mostraron de manera independiente que una cuantificación del grado de creencia sujeto a las restricciones de comparabilidad y coherencia (sus creencias son coherentes si nadie puede hacer un libro holandés en su contra) ser una probabilidad

Las diferencias entre las axiomatizaciones son en gran medida una cuestión de gustos sobre lo que debería ser lo que se definió y lo que se derivó. Pero la aditividad contable es una de Kolmogorov que no es derivable de Cox o Finetti, y ha sido controvertida. Algunos bayesianos (por ejemplo, de Finetti & Savage) se detienen en la aditividad finita y, por lo tanto , no aceptan todos los axiomas de Kolmogorov. Pueden colocar distribuciones de probabilidad uniformes en intervalos infinitos sin incorrección. Otros siguen a Villegas al asumir también una continuidad monótona, y obtienen de ello una suma contable.

Ramsey (1926), "Verdad y probabilidad", en Ramsey (1931), Los fundamentos de las matemáticas y otros ensayos lógicos.

de Finetti (1931), "Sul significato soggettivo della probabilità", Fundamenta Mathematicæ , 17 , pp 298 - 329

Villegas (1964), "Sobre probabilidad cualitativa álgebras", Ann. Mates. Estadístico. , 35 , 4.$\sigma$