Estimador de máxima verosimilitud para el mínimo de distribuciones exponenciales

Estoy atrapado en cómo resolver este problema.

Entonces, tenemos dos secuencias de variables aleatorias, e para . Ahora, e son distribuciones exponenciales independientes con parámetros y . Sin embargo, en vez de observar y , observamos en lugar y .$X_i$$Y_i$$i=1,...,n$$X$$Y$$\lambda$$\mu$$X$$Y$$Z$$W$

$Z=\min(X_i,Y_i)$ y $W=1$ si $Z_i=X_i$ y 0 si $Z_i=Y_i$ . Tengo que encontrar formas cerradas para los estimadores de máxima verosimilitud de $\lambda$ y $\mu$ sobre la base de $Z$ y $W$ . Además, tenemos que demostrar que estos son máximos globales.

Ahora, sé que el mínimo de dos exponenciales independientes es en sí mismo exponencial, con la tasa igual a la suma de las tasas, por lo que sabemos que $Z$ es exponencial con el parámetro $\lambda+\mu$ . Por lo tanto, nuestro estimador de máxima verosimilitud es: $\hat{\lambda}+\hat{\mu}=\bar{Z}$ .

Pero estoy atrapado con dónde ir desde aquí. Sé que $W$ es una distribución de Bernoulli con el parámetro $p=P(Z_i=X_i)$ , pero no sé cómo convertir esto en una declaración sobre uno de los parámetros. Por ejemplo, ¿qué estaría estimando el MLE $\bar{W}$ en términos de $\lambda$ y / o $\mu$ ? Entiendo que si $Z_i=X_i$ , entonces $\mu=0$ , pero estoy teniendo dificultades para descubrir cómo llegar a cualquier enunciado algebraico, aquí.

ACTUALIZACIÓN 1: Así que me han dicho en los comentarios para derivar la probabilidad para la distribución conjunta de $Z$ y $W$ .

Entonces donde . ¿Correcto? No sé cómo más derivar una distribución conjunta en este caso, ya que y no son independientes.$f(Z,W)=f(Z|W=1)\cdot p+f(Z|W=0)\cdot (1-p)$$p=P(Z_i=X_i)$$Z$$W$

Entonces esto nos da, , según la definición de anterior. Pero ahora que? Esto no me lleva a ninguna parte. Si voy a través de las etapas de calcular la probabilidad, consigo: (con y como los tamaños de las muestras para cada parte de la mezcla ...)$f(Z_i,W_i)=p\lambda e^{-\lambda z_i}+(1-p)\mu e^{-\mu z_i}$$W$$m$$n$

$L(\lambda,\mu)=p^m\lambda^m e^{-\lambda \sum{z_i}}+(1-p)^n\mu^n e^{-\mu \sum{z_i}}$

$\log L=m\log p+m\log\lambda-\lambda \sum{z_i}+n\log(1-p)+n\log\mu-\mu \sum{z_i}$

Si tomo las derivadas parciales, esto me dice que mi MLE estimaciones de y son sólo la media de la 's condicionada a . Es decir,$\lambda$$\mu$$Z$$W$

$\hat{\lambda}=\frac{\sum{Z_i}}{m}$

$\hat{\mu}=\frac{\sum{Z_i}}{n}$

y

$\hat{p}=\frac{m}{n+m}$

No tengo suficientes puntos para comentar, así que escribiré aquí. Creo que el problema que publica puede verse desde una perspectiva de análisis de supervivencia, si considera lo siguiente:

$X_i$ : verdadero tiempo de supervivencia,

$Y_i$ : tiempo de ,

Ambos tienen una distribución exponencial con e independientes. Entonces es el tiempo de supervivencia observado y el indicador de censura.$X$$Y$$Z_i$$W_i$

Si está familiarizado con el análisis de supervivencia, creo que puede comenzar desde este punto.

Notas: Una buena fuente: Análisis de datos de supervivencia por DRCox y D.Oakes

A continuación se muestra un ejemplo: Suponiendo que el pdf de la distribución del tiempo de supervivencia es . Entonces la función de supervivencia es: . Y la probabilidad de registro es:$f(t)=\rho e^{-\rho t}$$S(t)=e^{-\rho t}$

$\mathcal{l}= \sum_u \log f(z_i) + \sum_c \log S(z_i)$

con resumen sobre personas sin censura ( ) y personas censuradas ( ) respectivamente.$u$$c$

Debido al hecho de que donde h (t) es la función de peligro, esto se puede escribir:$f(t)=h(t)S(t)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log h(z_i) + \sum \log S(z_i)$

$\mathcal{l}= \sum_u \log \rho - \rho \sum z_i$

Y el estimador de máxima verosimilitud de es:$\hat{\rho}$$\rho$

$\hat{\rho}=d/\sum z_i$ donde es el número total de casos de$d$$W_i=1$