Cuál es el significado de

Estoy luchando por comprender completamente alguna notación en un libro donde usan un símbolo de "cruz", primero como $\bigoplus\limits_{i=1}^n{} Z_j$ donde el $Z_j$ son matrices y segundo como $I_n \otimes \Phi$ dónde $I_n$ y $\Phi$ son ambas matrices

El libro trata sobre estadísticas multivariadas y la sección trata sobre modelos de coeficientes aleatorios. No hay un apéndice de notación / terminología al que hacer referencia. Iba a publicar una foto digital de la página para que los usuarios puedan ver el contexto (esto está al comienzo de la sección).

Entonces, ¿esto es un tema aquí o debería publicar en math.se?

Actualización: originalmente publiqué esto en meta.se y se migró aquí. Ahora adjunto la foto de la página relevante del libro. ingrese la descripción de la imagen aquí

mathematical-statistics mixed-model notation Joe King
fuente

\oplus

$\oplus$ , Suma directa ;

\otimes

$\otimes$ , Producto tensorial .

whuber

@whuber gracias! Eso es exactamente lo que necesitaba. ¿Querías convertirlo en una respuesta para que pueda aceptarlo?

Joe King

Estoy demasiado ocupado ahora, Joe: una respuesta real explicaría cuáles son estas cosas, en lugar de recurrir a enlaces. Si alguien quisiera proporcionar los detalles en una respuesta, me complacería votarlo, pero mientras tanto me alegra que pueda continuar con su lectura.

whuber

@whuber OK Cargaré la imagen digital que mencioné para dar más contexto

Joe King

En estadística,

A \oplus B := [\begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \end{array}]

$A\oplus B:=\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B \end{array} \right]$ y (por ejemplo, para un

2 \times 2

$2\times 2$ -matriz

A

$A$ )

A \otimes B := [\begin{array}{cc} a_{11} B & a_{12} B \\ a_{21} B & a_{22} B \end{array}] .

$A\otimes B:=\left[\begin{array}{cc}a_{11}B & a_{12}B \\ a_{21}B & a_{22}B \end{array} \right].$

Esto se centra en las matrices para su uso en estadísticas como matrices de diseño o hipótesis, etc., donde estas notaciones simplifican la estructura de bloques frecuente de tales matrices. Uno puede encontrar el nombre de la suma de Kronecker para $\oplus$ y el producto Kronecker para $\otimes$ , especialmente en los manuales de software estadístico. (También es muy útil la multiplicación matricial por componentes) $A\#B=[a_{ij}b_{ij}]_{i,j}$ para matrices de igual forma. A veces se llama producto Hadamard).

En matemáticas, $\oplus$ y $\otimes$ tienen un significado típico ligeramente diferente como suma directa o producto tensorial de espacios vectoriales o incluso estructuras algebraicas más generales.

Horst Grünbusch
fuente

El significado estadístico es idéntico al significado matemático de la suma directa y el producto tensorial de las transformaciones lineales : estas fórmulas resultan de escribir las transformaciones como matrices en una base particular.

whuber

El teorema sostiene que el conjunto de

n \times m

$n\times m$ -matrices es isomorfo al conjunto de transformaciones lineales de un

m

$m$ dimensional a un

n

$n$ espacio vectorial dimensional. Entonces en el mundo del espacio vectorial tienes razón. Pero también existe una suma directa entre estructuras como grupos. En estadística, esto último no suele significar.

Horst Grünbusch

@whuber cuando busqué esto por primera vez, me encontré con [esto] ( math.stackexchange.com/questions/207635/… ) lo que me confundió un poco y me llevó a hacer la pregunta en CV. ¿Ese enlace en realidad muestra el mismo uso, porque el respondedor aceptado allí dice que es "adición no portadora"?

Joe King

@ HorstGrünbusch Solo quería alertarlo sobre el comentario que acabo de hacer sobre el dedo gordo del pie - también, si pudiera actualizar su respuesta para reflejar cómo se llaman los significados en las estadísticas, me complacería aceptarlo.

Joe King

Nunca me encontré con este significado particular de

\oplus

$\oplus$ y ni siquiera estoy seguro de si la respuesta aceptada es correcta. Pero estoy bastante seguro de que no es la suma de Kronecker de la aritmética matricial.

Horst Grünbusch

Cuál es el significado de

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