Relación entre la distribución gamma y chi-cuadrado

Si

$$Y=\sum_{i=1}^{N}X_i^2$$ donde $X_i \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)$ , es decir, todas las $X_i$ son iid variables aleatorias normales de media cero con las mismas variaciones, entonces $$Y \sim \Gamma\left(\frac{N}{2},2\sigma^2\right).$$

Sé que la distribución chi-cuadrado es un caso especial de la distribución gamma, pero no podía derivar la distribución chi-cuadrado para la variable aleatoria . ¿Alguna ayuda, por favor?$Y$

Algunos antecedentes

La distribución se define como la distribución que resulta de sumar los cuadrados de n variables aleatorias independientes N ( 0 , 1 ) , entonces: Si  X 1 , ... , X n ∼ N ( 0 , 1 )  y son independientes, entonces  Y 1 = n ∑ i = 1$\chi^2_n$$n$$\mathcal{N}(0,1)$ dondeX∼

$$\text{If }X_1,\ldots,X_n\sim\mathcal{N}(0,1)\text{ and are independent, then }Y_1=\sum_{i=1}^nX_i^2\sim \chi^2_n,$$ $X\sim Y$denota que las variables aleatorias e Y tienen la misma distribución (EDITAR: χ distribución n es f χ 2 ( x ; n ) = $X$$Y$ denotará tanto una distribución de Chi cuadrado conngrados de libertad como una variable aleatoria con dicha distribución$\chi_n^2$$n$). Ahora, el pdf del$\chi^2_n$ Entonces, de hecho, ladistribución χ 2 n es un caso particular de Γ ( p , $$f_{\chi^2}(x;n)=\frac{1}{2^\frac{n}{2}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$$ $\chi^2_n$ con pdf f Γ ( x ; a , p ) = $\Gamma(p,a)$ Ahora está claro que $$f_\Gamma(x;a,p)=\frac{1}{a^p\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-\frac{x}{a}},\quad \text{for } x\geq0\text{ (and $0$ otherwise).}$$ .$\chi_n^2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\right)$

Tu caso

La diferencia en su caso es que tiene variables normales con variaciones comunes σ 2 ≠ 1 . Pero en ese caso surge una distribución similar: Y 2 = n ∑ i = 1 X 2 i = σ 2 n ∑ i = 1 ( X $X_i$$\sigma^2\neq1$

$$Y_2=\sum_{i=1}^nX_i^2=\sigma^2\sum_{i=1}^n\left(\frac{X_i}{\sigma}\right)^2\sim\sigma^2\chi_n^2,$$ $Y$$\chi_n^2$$\sigma^2$$Y_2=\sigma^2Y_1$ $$f_{\sigma^2\chi^2}(x;n)=f_{\chi^2}\left(\frac{x}{\sigma^2};n\right)\frac{1}{\sigma^2}.$$ $Y_2\sim\Gamma\left(\frac{n}{2},2\sigma^2\right)$$\sigma^2$$a$

Nota

$\chi^2_n$$\sigma^2\neq1$$\chi_1^2$$\chi^2_n$